分部积分法对应乘法的求导公式。适用于两个函数的乘积的积分。
1，由乘法的求导公式\((uv)’=u’v+uv’\) 可以得到积分的分部积分公式，
\[\int(uv)’dx=\int u’v+\int uv’\quad\Longrightarrow\quad uv=\int u’v+\int uv’\quad\Longrightarrow\int uv’dx=uv-\int u’vdx\]
利用分部积分公式，我们可以求出一些函数乘积的积分。
2，幂函数与三角函数、指数函数的积：这时候，我们令幂函数为 \(u\)，而指数函数或者三角函数为 \(v’\)，这是因为指数函数的原函数是它自身，三角函数的原函数还是三角函数。而幂函数每次求导都会降阶，所以这样设置的话，计算起来会比较简便。
例1，求\(\displaystyle\int xe^x dx, \int x^2\sin x dx\)
解：（1）因为 \(e^x\) 的积分就是它自己，所以令\(u=x\)，\(e^x=v’\)，\(v=e^x\)，
\[\int xe^xdx=xe^x-\int 1\cdot e^xdx=xe^x-e^x+C\]
（2）令\(u=x^2\)，\(v’=\sin x\)，\(v=\cos x\)，
\[\begin{align*}\int x^2\sin xdx&=-x^2\cos x-\int 2x(-\cos x)dx\\& =-x^2\cos x +2x\sin x-2\int 1\cdot\sin xdx\\ &=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\end{align*}\]
3，幂函数与对数函数、反三角函数的乘积。这时候令幂函数为 \(v’\)，这是因为对数函数与反三角函数的原函数我们不知道，但是它们的导数都会与幂函数有某些关系。这样设置以后，通过一次分部积分，积分会变得更简单，更好积分一些。
例2，求\(\displaystyle\int x\ln xdx\)
解：令 \(v’=x, u=\ln x\)，得到 \(v=\frac{1}{2}x^2\)，利用分部积分公式，
\[\begin{align*}\int x\ln xdx&=\frac{1}{2} x^2\ln x- \int \frac{1}{2} x^2 \cdot\frac{1}{x} dx\\&=\frac{1}{2} x^2\ln x – \int \frac{1}{2} xdx\\ &=\frac{1}{2} x^2\ln x – \frac{1}{4} x^2+C\end{align*}\]
例3，求\(\displaystyle\int \arctan xdx\)
解：令 \(v’=1, v=x, u=\arctan x\)， 我们有
\[\begin{align*}\int \arctan xdx&=\int 1\cdot \arctan xdx\\ & =x \arctan x-\int \frac{x}{1+x^2} dx\\ &=x \arctan x-\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)+C\end{align*}\]
4，三角函数与指数函数的积 （回复积分）。因为三角函数的原函数是三角函数，指数函数的原函数是指数函数，所以不管怎么设置，积分过后还是这种形式。但是通过多次分部积分以后，会回到原来的形式，这时候，通过移项，就可以求出原来的积分。
例3，求积分\(\displaystyle\int e^x \sin x dx=e^x\sin x-\int e^x\cdot\cos x dx\)
解：可以令 \(v’=e^x, v=e^x, u=\sin x\)，所以
\[\begin{align*}\int e^x \sin x dx&=e^x\sin x-\int e^x\cdot\cos x dx \\ & =e^x \sin x -\left(e^x\cdot\cos x-\int e^x\cdot(-\sin x)\right)dx\\ & =e^x \sin x-\left(e^x\cos x-\int e^x\cdot(-\sin x)\right)dx\\ &=e^x\sin x-e^x\cos x -\int e^x \sin xdx\end{align*}\]
将右边的积分移到左边，而两个不定积分之差为一任意常数，所以
\[2\int e^x\sin x dx=e^x\sin x-e^x\cos x+C\]
也就是
\[\int e^x\sin x dx=\frac{1}{2} e^x \sin x- \frac{1}{2} e^x\cos x+C\]