有理函数，是指分子分母都是多项式的分式函数。有理函数的积分，我们一般先通过部分分式将有理函数化成简单分式之和，再利用基本公式或者换元法、分部积分法来求出它的积分。
有理函数总是可以求出它的不定积分。
1，有理函数：就是形如\(\displaystyle\quad f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的函数，其中\(P(x)\)，\(Q(x)\ \)都是多项式
2，有理函数的积分 ：对于有理函数的积分，我们一般分成两步
（1）化成真分式：若分式不是真分式，先将它化成真分式。所谓真分式，是指分子的多项式的阶比分母的阶要低。
（2）真分式化成部分分式：如果已经是真分式，我们通过部分分式将有理函数进行分解 。分解的方式如下。
3，部分分式分解：若\(\displaystyle\quad\frac{P(x)}{Q(x)}\quad\)是真分式，则它可以分解也下列四种简单分式之和
（1）若\(Q(x)\)有单项因子\(\displaystyle (x-a)\)，则\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 有部分分式 \( \frac{A}{x-a}\)；
（2）若\(Q(x)\) 有重因子 \(\ (x-a)^m\)，则\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 有部分分式
\[\displaystyle \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+ \cdots +\frac{A_m}{(x-a)^m}\]；
（3）若\(Q(x)\)有因子\(\displaystyle\quad x^2+px+q\)，\(\displaystyle\quad p^2-4q<0\)，则\(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\) 有部分分式\(\displaystyle \frac{Ax+B}{x^2+px+q}\)；
（4）若\(Q(x)\)有重因子\(\displaystyle \left(x^2+px+q\right)^m\)， 则
\(\displaystyle\quad\frac{P(x)}{Q(x)}\) 有部分分式
\[\displaystyle \frac{A_1 X+B_1}{x^2+px+q}+\frac{A_2 X+B_2}{\left(x^2+px+q\right)^2}+\cdots+\frac{A_m X+B_m}{\left(x^2+px+q\right)^m}\]
例1，求\(\displaystyle\quad\int \frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}dx\)
解：\[\begin{align*}\int \frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}dx&=\int \frac{x^2+2x-1}{x(2x^2+3x-2)}dx\\&=\int \frac{x^2+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}dx\\&=\int \left(\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x+2}\right)dx\end{align*}\]
我们来求未知常数 \(A,B,C\)，由上面的表达式，
\[\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x+2}=\frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}\]
可以得到
\[A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1)=x^2+2x-1\]
当\(\ \displaystyle x=-2\) 时，
\[ C(-2)(-4-1)=4-4-1\quad\Rightarrow\quad 10C=-1\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{10}\]
当\(\ \displaystyle x=\frac{1}{2}\) 时，
\[ \frac{1}{2}B\cdot\frac{5}{2}=\frac{1}{4}+1-1\quad\Rightarrow\quad\frac{5}{4}B=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{5}\]
当\(\ \displaystyle x=0\) 时，
\[\displaystyle\quad A(-2)=-1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}\]
因此，
\[\begin{align*}\int \left(\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x+2}\right)dx&=\int \left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{x+2}\right)dx\\ &=\frac{1}{2}\ln|x|+\frac{1}{10}\ln|2x-1|-\frac{1}{10}\ln|x+2|+C\end{align*}\]
例2，求\(\displaystyle\quad\int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx\)
解：（1）将原积分化成真分式
\[\begin{align*}\int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx&=\int \left(x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}\right)dx\\ &=\frac{1}{2}x^2+x+\int\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}dx\end{align*}\]
又因为
\[\begin{align*}\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}&=\frac{4x}{x^2(x-1)-(x-1)}\\ &=\frac{4x}{(x-1)(x^2-1)}\\ &=\frac{4x}{(x-1)^2(x+1)}\\ &=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{\left(x-1\right)^2}\end{align*}\]
可以得到
\[ A(x-1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x+1)=4x\]
因为上面这个等式是对于所有 \(x\) 成立，所以我们可以取一些特殊的 \(x\) 值，来求得未知常数 \(A,B,C\) 的值。
当\(\ x=-1\) 时 ，\( 4A=-4\quad\Rightarrow\quad A=-1\)；
当\(\ x=1\) 时， \(\ 2C=4\quad\Rightarrow\quad C=2\)；
当\(\ x=0\) 时，\(\ A-B+C=0\quad\Rightarrow\quad B=A+C=1\)
因此，原积分
\[\begin{align*}\int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx&=\frac{x^2}{2}+x+\int \left(-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}+\frac{2}{\left(x-1\right)^2}\right)dx\\ &=\frac{x^2}{2}+x-\ln|x+1|+\ln|x-1|-\frac{2}{x-1}+C\end{align*}\]
例3，求\(\displaystyle\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx\)
解：\[\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx=\int \frac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)}dx=\int \left(\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}\right)dx\]
将被积函数通分，得到\(\displaystyle\quad A(x^2+4)+x(Bx+C)=2x^2-x+4\)。
当\(\ x=0\) 时，得到 \( 4A=4\)， 所以 \(A=1\)。代入上面的等式，得到
\[\displaystyle\quad (x^2+4+Bx^2+Cx)=2x^2-x+4\]
比较两边的系数 ，得到 \( B=1,C=-1\)。所以原积分
\[\begin{align*}\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx&=\int \left(\frac{1}{x}+\frac{x-1}{x^2+4}\right)dx\\ & =\ln x+\int \frac{x-1}{x^2+4}dx\\ & =\ln x+\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^2+4}dx\\ & =\ln x+\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+4}dx-\int \frac{dx}{x^2+4}\\ & =\ln x+\frac{1}{2}\ln (x^2+4)-\frac{1}{4}\int \frac{dx}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}\\ &=\ln x+\frac{1}{2}\ln (x^2+4)-\frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2}+C\end{align*}\]