我们同样利用定积分的思想，来推导旋转轴为其它直线时，旋转体的体积。
1， \(y=f(x),x=a,x=b, y=c\) 所围成的图形绕 \(y=c\) 旋转，
与之前的推导完全一样，我们只需要注意到，任何一点 \(x\) 处，旋转出来的圆盘的半径为 \(f(x)-c\)，所以绕 \(x\) 轴旋转的体积为
\[V=\int_a^b\pi (f(x)-c)^2dx\]
（2）\(y=f(x),x=a,x=b, y=0\) 所围成的图形绕 \(x=d\) 旋转，
这时候，圆桶的底部半径为 \(|x-d|\)，这里要加绝对值，是因为面积为正数。同样的推导，我们得到体积为
\[\int_a^b2\pi (x-d)f(x)dx\]
例1：求由 \(y=x-x^2, y=0\) 所围成的图形分别 绕 \(x=2\) 和 \(y=-1\) 旋转所得的体积。
解：\(y=x-x^2, y=0\) 的交点为 \((0,0), (1,0)\)。平面区域的图形为
（1）绕 \(y=-1\) 旋转。注意平面区域旋转出来的立体，是上曲线绕出来的体积减去下曲线绕出来的体积。我们用切片法来求，
\[\begin{align*}V&=\int_0^1\pi\left((x-x^2-(-1))^2-(0-(-1))^2\right)dx \\ &=\int_0^1\pi(x-x^2+1)^2dx-\pi\\ &=\pi\int_0^1(x^4-2x^3-x^2+2x+1)dx-\pi\\ &=\pi\left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\Big|_0^1-\pi\\ &=\frac{5\pi}{12}\end{align*}\]
（2）绕 \(x=2\) 旋转。我们用圆桶法来求，半径为 \(2-x\)（因为 \(x<2\)），
\[\begin{align*}V&=\int_0^12\pi (2-x)(x-x^2)dx=2\pi \int_0^1(2x-3x^2+x^3)dx\\ &=\left(x^2-x^3+\frac{x^4}{4}\right)\Big|_0^1=\frac{\pi}{2}\end{align*}\]
需要注意的是，利用圆桶法求旋转体的体积时，如果有上、下曲线，也需要用上曲线绕出来的体积，减去下曲线绕出来的体积。