我们从曲边梯形的面积导出了定积分的概念，现在我们用定积分来求一般平面图形的面积。
1，曲边梯形的面积：假设曲边梯形的顶为 \(y=f(x)\)，底为 \(x\) 轴，那么介于 \(x=a\) 与 \(x=b\) 之间的曲边梯形的面积为
\[A=\int_a^bf(x)dx\]
现在我们利用同样的思想，得到一般平面图形的面积。
2，假如平面图形由 \(y=f(x), y=g(x), x=a, x=b\) 所围成，
则面积为上曲线减去下曲线的积分， \[A=\int_a^b(g(x)-f(x))dx\]
我们来推导这个公式。与定积分定义一样，我们将区间划分成 \(n\) 个小区间，
那么在任何一个小区间上，长方形的高为 \(g(x_i^*)-f(x_i^*)\)，底边长为 \(\Delta x_i\)，第 \(i\) 个长方形的面积为 \((g(x_i^*)-f(x_i^*))\Delta x_i\)，将所有这些长方形的面积加起来，就是平面图形面积的近似值；再将区间划分得更细，近似程度越高，当区间的长度趋近于 \(0\) 时，面积的近似值的极限就是平面图形面积的精确值。所以
\[A=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^{n}(g(x_i^*)-f(x_i^*))\Delta x_i=\int_a^b(g(x)-f(x))dx\]
3，若平面图形由 \(x=h_1(y), x=h_2(y), y=c, y=d\) 所围成，
跟上面的方法一样，第 \(i\) 个长方形的面积为 \((h_2(y_i^*)-h_1(y_i^*))\Delta y_i\)，所以面积为 \[A=\int_c^d(h_2(y)-h_1(y))dy\]
也可以说，用右曲线减去左曲线（关于 \(y\)）的积分就是平面图形的面积。
4，如果上、下曲线（或者左、右曲线）在不同区间表达式不同，就需要分成两个或者更多个区间来计算。例如平面区域如图，
\[A=\int_a^c(g_1(x)-f(x))dx+\int_c^b(g_2(x)-f(x))dx\]
我们来看一些例题。
例1：求由曲线 \(y=x^2,y=2x-x^2\) 所围成的图形的面积。
解：我们先求出曲线的义点，
\[\begin{cases}y=x^2\\ y=2x-x^2\end{cases}\quad\Rightarrow\quad x=0,1\]
所以交点为 \((0,0), (1,1)\)。我们现在画出区域的图形，
从图形上看，我们知道上曲线是 \(y=2x-x^2\)，下曲线是 \(y=x^2\) （如果不画图的话，可以用 \((0,1)\) 区间上任何一点的值代入这两个曲线方程里去，大的那个是上限，小的那个是下限。）所以区域的面积为
\begin{align*}A&=\int_0^1(2x-x^2-x^2)dx=\int_0^1(2x-2x^2)dx\\ &=\left(x^2-\frac{2}{3}x^3\right)\Big|_0^1=\frac{1}{3}\end{align*}
例2：计算曲 \(y=\cos x,y=\sin x, x=0, x=\frac{\pi}{2}\) 所围成图形的面积。
解：我们先画出区域的图形，
我们求出两个曲线的交点， \(\sin x=\cos x\)，所以交点为 \(x=\frac{\pi}{4}\)，区域要分成两部分，从而面积为
\[\begin{align*}A&=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-\cos x)dx\\ &=(\sin x+\cos x)\Big|_0^{\frac{\pi}{4}}+(-\cos x-\sin x)\Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=2(\sqrt2-1)\end{align*}\]
例3：求由曲线 \(y^2=2x+6,y=x-1\) 所围成的图形的面积。
解：我们先画出函数的图形，
我们来求交点，\begin{cases}y^2=2x+6\\ y=x-1\end{cases} 将第二个方程改写成 \(x=y+1\) 代入第一个方程，我们得到 \[y^2-2y-8=0,\quad y=-2,4\]所以交点为 \((-1,-2),(5,4)\)。
从图形上可以看出，如果以 \(x\) 为积分变量的话，需要将区域分成两部分，来分别求面积，而且被积函数是根式函数。但是如果以 \(y\) 为积分变量，则不需要划分区域，被积函数也比较简单，都是多项式。所以我们以 \(y\) 为积分变量，右曲线是 \(x=y+1\)，左曲线是 \(x=\frac{y^2}{2}-3\)，所以
\[\begin{align*}A&=\int_{-2}^4\left[y+1-\left(\frac{y^2}{2}-3\right)\right]dy\\ &=\left(\frac{y^2}{2}+4y-\frac{y^3}{6}\right)\Big|_{-2}^4\\ &=18\end{align*}\]