变上限积分，将导数与积分联系起来，这就是微积分基本定理（I）。另一个微积分基本定理，是牛顿-莱不尼兹定理，我们下一节再讲。
1，速度与路程：我们之前导出导数定义的时候，就知道 \(s'(t)=v(t)\)，而在导出定积分定义的时候，\[\int_a^bv(t)dt=s(b)-s(a)\]
从这里我们看到了导数与积分之间的联系：区间上的定积分等于原函数在端点处的值之差。现在我们来证明这样的结论。
2，变上限积分：若 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，定义函数
\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\]我们称这样的积分为变上限积分。
对于这样变上限积分，我们有
3，定理（微积分基本定理I）：若 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，那么\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\] 在区间 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导， 且 \(F'(x)=f(x)\)，也就是说，变上限积分是函数的一个原函数。
证明：因为 \[\begin{align*}F(x+h)-F(x)&=\int_a^{x+h}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt\\ &=\int_x^{x+h}f(t)dt=f(\xi)h\end{align*}\]
最后一个等式我们应用了积分中值定理，这里 \(\xi\in(x,x+h)\)。当 \(h\to 0\)，
\[\lim_{h\to 0}(F(x+h)-F(x))=\lim_{h\to 0}f(\xi)h=0\]
所以 \(F(x)\) 连续。又
\[F'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(\xi)h}{h}=\lim_{h\to 0}f(\xi)=f(x)\]这是因为 \(\xi\in(x,x+h)\)，所以当 \(h\to0\) 时，\(\xi\to x\)。这就证明了定理。
例1：求 \(F(x)=\int_0^x\sqrt{1+t^2}dt\) 的导数。
解：由变上限积分的导数，我们知道 \[F'(x)=\sqrt{1+x^2}\]
例2：设 \(\displaystyle F(x)=\int_1^{x^4}\sec tdt\)，求 \(F'(x)\)。
注意，这里我上限不是 \(x\) ，而是 \(x^4\)，所以不能直接应用变上限积分的导数。需要用到复合函数的求导法则。
解：我们设 \(F(u)=\int_1^u\sec tdt, u=x^4\)，则
\[F'(x)=\frac{dF}{du}\cdot\frac{du}{dx}=F'(u)u'(x)=\sec u \cdot 4x^3=4x^3\sec x^4\]
4，一般的变上限积分的导数：由定积分的性质与定义，一般地，我们有
（1）\(\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)dt\)，则 \(F'(x)=f(x)\);
（2）\(\displaystyle F(x)=\int_a^{\phi(x)}f(t)dt\)，则 \(F'(x)=f(\phi(x))\phi'(x)\);
（3）\(\displaystyle F(x)=\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt\)，则 \(F'(x)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)\);
我们证明最后一个。
证明（3）：\[F(x)=\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt+F(x)+\int_{\psi(x)}^{a}f(t)dt=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt+F(x)-\int_{a}^{\psi(x)}f(t)dt\]
然后分别应用复合函数求导法则即可。