定积分的换元法，与不定积分换元法稍有不同。我们对定积分进行换元运算的时候，同时改变积分上、下限的值，得到原函数后，也不用回代原来的变量，直接代入新的上、下限即可。
1，定理（定积分的换元法）：设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内可积，若 \(g'(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内连续， \(f(x)\) 在 \(u=g(x)\) 的值域上连续，则
\[\int_a^bf(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du=F(g(b))-F(g(a))\]
其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。
证明：因为
\[\begin{align*}\int_a^bf(g(x))g'(x)dx&=\int_a^bF'(g(x))g'(x)dx\\ &=\int_a^b(F(g(x)))’dx=F(g(b))-F(g(a))\\ &=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du\end{align*}\]
证毕。
这个公式可以看成是定积分的第一类换元法。若将上述的证明过程倒推回去，就得到了定积分的第二类换元法。
3，定理：若 \(x=\phi(t)\) 满足
（1）\(\phi(\alpha)=a, \phi(\beta)=b\);
（2）\(phi(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上具有一阶连续导数，其值域为 \([a,b]\)，则
\[\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt\]
这两个定理都告诉我们，定积分的换元法，不用代回到原来积分变量，直接代入新的积分上、下限即可。当然，如果先求出原函数，再代入原来变量的上、下限也可以。
例1：求积分 \(\displaystyle\int_0^4\sqrt{2x+1}dx\)。
解：令 \(u=2x+1\)，则 \(du=2dx, dx=\frac{1}{2}du\)，\(x=0\) 时， \(u=1\)，\(x=4\) 时，\(u=9\)，所以
\[\begin{align*}\int_0^4\sqrt{2x+1}dx&=\int_1^9\sqrt{u}\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}\Big|_1^9=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}\end{align*}\]
例2：求积分 \(\displaystyle\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx\)。
解：令 \(x=a\sin t\)，则 \(dx=a\cos t\)，\(x=0\) 时，\(t=0\)，\(x=a\) 时，\(t=\frac{\pi}{2}\)，所以
\[\begin{align*}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx&=\int)^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}a\cos tdt\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}a^2\cos^2tdt=a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2t}{2}dt\\ &=a^2\left(\frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}\right)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}a^2\end{align*}\]
求定积分的时候，我们要注意函数的取值情况，这与不定积分不一样，求不定积分的时候，我们一般不考虑函数取值的情况，但在求定积分的时候，我们需要注意这一点。
例3：求积分 \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x-sin^5x}dx\)。
解：我们在根号里提出因子 \(\sin^3x\)，
\[\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x-sin^5x}dx=\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x(1-sin^2x)}dx=\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x\cos^2x}dx\]
我们知道， \(1-\sin^2x=\cos^2x\)，但是 \(\cos^2x\) 不能直接提到根号外面来，这是因为 \(\cos^2x\ge 0\)，但是开根号以后 \(\cos x\) 在 \((0,\pi)\) 区间上不是恒正的，所以提出来以后，\(\cos x\) 要加绝对值。即
\[\begin{align*}\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x}|\cos x|dx&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{\frac{3}{2}}x\cos xdx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin^{\frac{3}{2}}x\cos xdx\\ &=\frac{2}{5}\sin^{\frac{5}{2}}x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{2}{5}\sin^{\frac{5}{2}}x\Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\\ &=\frac{4}{5}\end{align*}\]