这一节我们证明微积分里最重要最根本的一个定理：牛顿-莱布尼兹公式（牛顿-莱布尼兹定理），它深刻揭示了微分与积分之间的关系，所以这个定理也称为微积分基本定理。
1，定理（微积分基本定理，牛顿-莱布尼兹公式）：设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，\(F(x)\) 是它的一个原函数，则 \[\int_a^bf(x)dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)\]
证明：我们设 \(g(x)=\int_a^xf(t)dt\)，则由上一节的内容我们知道， \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。所以由原函数之间的关系， \(g(x)=F(x)+C\)，从而
\[g(b)=\int_a^bf(t)dt=F(b)+C\]
\[ g(a)=\int_a^af(t)dt=0, g(a)=F(a)+C\]
所以 \(C=-F(a)\)，因而
\[\int_a^bf(t)dt=F(b)+C=F(b)-F(a)\]证毕。
有了微积分基本定理之后 ，求定积分就变得异常简单了，我们求出被积函数的原函数以后，将积分的上、下限代入原函数，就得到了定积分的值。
例1：求积分 \(\displaystyle\int_{-2}^1x^3dx\)。
解：\[\int_{-2}^1x^3dx=\frac{1}{4}x^4\Big|_{-2}^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(-2)^4=-\frac{15}{4}\]
例2：求积分 \(\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^2}dx\)。
解：\[\int_{-1}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\Big|_{-1}^{\sqrt3}=\frac{\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{7\pi}{12}\]
例3：求曲线 \(y=\cos x, 0\le x\le \frac{\pi}{2}\) 下方的面积。
解：曲定积分的几何意义，我们知道，
\[A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=1\]