另一种广义积分是无界函数的广义积分，也称为瑕积分。就是函数在区间内某一个点附近无界，这时候的积分称为瑕积分。
1，瑕积分（无界函数的广义积分）：
（1）若 \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\)，则定义\[\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx\]
（2）若 \(\lim_{x\to b}f(x)=\pm\infty\)，则定义\[\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to b^-}\int_t^bf(x)dx\]
（3）若 \(\lim_{x\to c}f(x)=\pm\infty, c\in (a,b)\)，则定义\[\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\]
等式右边的两个积分用 （1）、（2）两个定义。
若（1）、（2）两个极限存在，我们就称瑕积分收敛，反之称瑕积分发散；（3）式右边两个积分都收敛，我们称积分收敛，若有一个不收敛，我们称积分发散。
如同无穷区间上的广义积分一样，我们记\(\int_a^bf(x)dx=F(x)\Big|_a^b\)，在瑕点处的函数值是在极限的意义下取的。
例1：求积分 \(\displaystyle\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{z^2-x^2}}\)。
解：\[\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{z^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}\Big|_0^{a}=\frac{\pi}{2}\]
例2：讨论 \(\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx\) 的敛散性。
解：注意到，\(x=0\) 是函数的瑕点，所以
\[\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx=\int_{-1}^0\frac{1}{x^2}dx+\int_0^1\frac{1}{x^2}dx\]
因为 \[\int_{-1}^0\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\Big|_{-1}^0=\infty, \int_0^1\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\Big|_0^1=\infty\]
所以积分发散。