之前的积分，都是在有限区间上进行的。那么如果是无穷区间，我们如何定义函数在这样的区间上的定积分？这就需要我们推广定积分的定义。
广义积分，或者反常积分，主要有两种情况：无穷区间上的广义积分；无界函数的广义积分。我们首先定义无穷区间上的广义积分。
1，无穷区间上的广义积分（反常积分）：我们定义无穷区间上的广义积分为
\[(1)\quad\int_a^{\infty}f(x)dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)dx\]
\[(2)\quad\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^bf(x)dx\]
\[(3)\quad\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^{\infty}f(x)dx\]
若 （1），（2）中的极限存在，我们就说 （1）（2）中的广义积分收敛，反之，积分发散。若（3）中两个积分都收敛，我们说积分收敛，若有一个不收敛，我们说积分发散。
例1：计算广义积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}\)。
解：\[\begin{align*}\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{b\to\infty}\int_1^{b}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{b\to\infty}2x^{\frac{1}{2}}\Big|_0^b=\lim_{b\to\infty}2\sqrt{b}=\infty\end{align*}\]
所以积分发散。
例2：计算积分 \(\displaystyle\int_{-\infty}^0xe^xdx\)。
解：\[\begin{align*}\int_{-\infty}^0xe^xdx=\lim_{a\to-\infty}^0=\lim_{a\to-\infty}(xe^x-e^x)\Big|_a^0=\lim_{a\to-\infty}(e^a-ae^a-1)=-1\end{align*}\]
所以，积分收敛。
若记 \(F(\infty)=\lim_{x\to\infty}F(x),F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)\)，我们可以像普通定积分一样计算，只是需要记住，\(F(\infty), F(-\infty)\)，是在极限意义下的函数值。
例3：计算 \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx, p\ne 1\)。
解：\[\begin{align*}\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\frac{1}{1-p}x^{1-p}\Big|_1^{\infty}=\begin{cases}\frac{1}{p-1}, &p>1\\ \infty, &P<1\end{cases}\end{align*}\]
所以积分在 \(p>1\) 时收敛，\(p<1\) 时发散。
若 \(p=1\)， (\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\ln x\BIg_1^{\infty}=\infty\)。
所以积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx\) 在 \(p>1\) 时收敛，\(p\le 1\) 时发散。
例4：计算 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx\)。
解：\[\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\Big|_{-\infty}^{\infty}=\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})=\pi\end{align*}\]