我们通过求函数的近似值，导出函数的微分的定义。
首先我们看一个问题：\(\sqrt{1.05}\) 的值大概是多少？
这是一个求近似值的问题，我们知道 \(\sqrt{1.05}\) 是个无理数，我们一不知道它的准确值。
1，函数的近似值：函数在一点处的近似值可以用导数来确定。事实上，当 \(|\Delta x|\) 很小的时候，我们有\[f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x\]这一点可以从导数的定义得到
因为 \(f'(a)\) 是 \(x=a\) 这一点切线的斜率，那么 \(f'(a)\Delta x\) 就是切线从 \(x=a\) 到 \(x=a+\Delta x\) 部分的增量，它与函数的增量 \(f(a+\Delta x)-f(a)\) 之间非常接近。\(\Delta x\) 越小，它的近似程度越高。
我们记 \[L(a)=f(a)+f'(a)\Delta x, \text{或者} L(x)=f(x)+f'(x)\Delta x\] 它们称为函数的线性近似函数。也就是说 \[f(x+\Delta x)\approx L(x)\]
现在我们利用线性近似函数来求函数的近似值。
例1：求 \(\sqrt{1.05}\) 的近似值。
解：我们令 \(f(x)=\sqrt{x}\)，则我们可以取 \(a=1\)，那么 \(\Delta x=0.05\)。\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(f'(1)=\frac{1}{2}, f(1)=1\)。所以
\[f(1.05)\approx f(1)+f'(1)\Delta x=1+\frac{1}{2}\cdot 0.05=1.025\]
也就是说， \(\sqrt{1.05}\approx 1.025\)。我们可以用计算器验算一下它的真实值：1.024695… ,可以看到它们之间的误差非常小。
例2：求 \(\tan44^{\circ}\) 的近似值。
解：我们可以设 \(f(x)=\tan x\)， \(a=45^{\circ}=\frac{\pi}{4},\Delta=-1^{\circ}=-\frac{\pi}{180}\)。我们知道 \(f(\frac{\pi}{4})=\tan\frac{\pi}{4}=1\)，\(f'(x)=\sec^2x\)，\(f'(\frac{\pi}{4})=\sec^2\frac{\pi}{4}=2\)，所以\[\tan44^{\circ}\approx\tan\frac{\pi}{4}+\sec^2\frac{\pi}{4}(-\frac{\pi}{180})=1-\frac{2\pi}{180}=1-\frac{\pi}{90}\]
2，函数的微分。我们定义函数 \(y=f(x) \) 的微分为 \[dy=f'(x)dx\]
从代数形式上看，我们有 \[\frac{dy}{dx}=f'(x)\Rightarrow dy=f'(x)dx\]
从几何上看，如果我们记 \(dx=\Delta x\)，那么从我们前面的图形上看， \(dy=f'(x)dx\) 就是切线的增量。我们前面求函数的近似值，实际上就是用切线的增量来近似函数的增量。
我们以前把 \(\frac{dy}{dx}\) 看成是一个整体， 表示函数的导数。现在有了微分的定义以后，\(dy\) 和 \(dx\) 就有了各自的意义。\(dx\) 表示自变量的增量，\(dy\) 表示切线的增量，它们的比就是切线的斜率。
另外有了微分的定义以后，我们也把导数 \(f'(x)=\frac{dy}{dx}\)叫做函数的微商。
微分的求法很简单，只需要知道函数的导数，我们就能直接得到函数的微分。我们就不举例了。
３：微分形式不变性：若 \(y=f(x), x=g(t)\)，则 \[dy=f'(x)dx=f'(x)g'(t)dt=y'(t)dt\]所以不管是不是有中间变量，微分形式是不变的。