我们推导反函数的求导法则，如果 \(y=f^{-1}(x)\)，则 \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}\)。这个公式有时候不好理解，我们用具体的函数以及具体的数值来说明如何应用这一求导法则。
我们可以用隐函数的求导法则来推导反函数求导法。
1，反函数求导法则。设 \(y=f^{-1}(x)\)，我们如何求 \(\frac{dy}{dx}\)？因为\(y=f^{-1}(x)\)，所以 \(x=f(y)\)，两边对 \(x\) 求导，利用隐函数求导法，我们有 \[1=f'(y)\frac{dy}{dx}\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]
这个公式的推导不难，难的是如何应用它，特别在求反函数在某一点处的导数的时候。
我们先来推导反三角函数的导数，然后再看一些反函数在特定点处导数的求法。
例1：求\(y=\arcsin x\) 的导数。
解：因为 \(y=\arcsin x=\sin^{-1}(x)\)，它是 \(\sin x\) 的反函数，而 \((\sin x)’=\cos x\)。由反函数求导公式，\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\cos (\sin^{-1}(x))}\] 因为 \(\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos (\sin^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
例2：求\(y=\arccos x\) 的导数。
解：因为 \((\cos x)’=-\sin x\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sin (\cos^{-1}(x))}\] 因为 \(\sin x=\sqrt{1-\sin^2 x}\)，所以\[\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin (\cos^{-1}(x))}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\cos^{-1}x)}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
例3：\(y=\arctan x\) 的导数。
解：因为 \((\tan x)’=\sec^2(x)\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\sec^y}=\frac{1}{\sec^2 (\tan^{-1}(x))}\] 因为 \(\sec^2 x=1+\tan^2x\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sec^2(\tan^{-1}(x))}=\frac{1}{1+\tan^2(\tan^{-1}x)}=\frac{1}{1+x^2}\]
同样的方法，我们可以求得 \((\text{arccot} x)’=-\frac{1}{1+x^2}\)。
2，反三角函数的求导公式。从上面我们计算所得，我们有了四个反三角函数的求导公式。
\[(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
\[(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2},\quad (\text{arccot} x)’=-\frac{1}{1+x^2}\]
3，一般的反函数求导。
例4：设 \(f(x)=x^3-2\)，求 \((f^{-1})'(6)\)。
解：设 \(y=f^{-1}(x)\)，那么 \[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]
因为 \(f'(x)=3x^2\)，所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3(f^{-1}(x))^2}\]
现在的问题是，我们代什么值进去，如何代值进去。分母里面 \(f^{-1}(6)\) 的值如何算。因为 \(f^{-1}(x)\) 是 \(f(x)\) 的反函数，所以 \(f^{-1}(6)\) 的值就是由 \(f(x)=6\) 算出来的 \(x\) 的值。
因为 \(6=x^3-2\)，所以得到 \(x=2\)，也就是说 \(f^{-1}(6)=2\)，从而 \[(f^{-1})'(6)=\frac{1}{3(f^{-1}(x))^2}=\frac{1}{12}\]