我们从曲线的切线斜率出发，导出函数在一点处的导数的定义。并且由此导出函数在一点处的切线方程。
导数的定义来源于两个实际的问题：切线的斜率与变速直线运动的瞬时速度。
1，切线的斜率。对于圆的切线，定义为与圆只交于一点的直线。但对于一般的曲线来说，这样的定义显然不适合。对于一般的曲线 \(y=f(x)\)，它在一点 \(a,f(a)\) 处的切线这样定义：
在曲线 \(y=f(x)\)上，取\(a,f(a)\) 附近一点 \(a+\Delta x, f(a+\Delta x)\)，作连接这两点的割线，当 \(\Delta x\) 趋于 \(0\) 时，割线的极限位置就是曲线的切线。
我们看到，割线的斜率为 \[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\]因为切线就是割线的极限位置， \(\Delta x\to 0\)，所以切线的斜率为\[\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\]
如果记 \(x=a+\Delta x\)，上式也可以记为 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
2，变速直运动的瞬时速度。我们考虑变速直线运动 \(s=s(t)\)，它在时刻 \(t_0\) 时的瞬时速度。首先考虑在一个很短的时间内，\((t_0, t_0+\Delta t)\) 之间，运动的平均速度为 \[\bar{v}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}\]
当 \(\Delta t\to 0\)时，平均速度就是物体在 \(t_0\) 时的瞬时速度。也就是\[\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}=\lim_{t\to t_0}\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}\]
3，导数的定义：从以上两个例子我们可以看出，虽然是两个不同的问题，但它们在数学上的表示式是一样的。我们就称这样的表达式为函数在一点处的导数，记为 \(f'(a)\)，也就是\[f'(a)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\]若这个极限存在，我们称函数在点 \(x=a\) 处可导。
因为导数是通过极限来定义，而极限存在的充分必要条件是左右极限存在且相等。所以我们也类似地可定义函数在一点处的左右导数。并且有一样的结论：函数在一点处的导数存在的充分必要条件是它在这一点处的左右导数存在且相等。
左右导数分别记为 \(f'(a^-)\) 和 \(f'(a^+)\)。
例1：求函数 \(y=x^2\) 在 \(x=2\) 处的导数。
解：由导数的定义，\[\begin{align*}f'(2)&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(2+\Delta x)^2-4}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{4+4\Delta x+\Delta^2 x-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4\Delta x+\Delta^2x}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0}(4+\Delta x)=4\end{align*}\]
4，导函数：若函数在某个区域上的每一点都可导，我们称此函数为此区域上的可导函数。此区域上的每一点 \(x\)，都有唯一一个数值 \(f'(x)\) 与之对应，所以 \(f'(x)\) 就定义了这个区域上的一个函数，我们称它为函数 \(f(x)\) 的导函数，简称为导数。
导函数的求法：\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]
例2：求函数 \(y=\sqrt{2x+1}\) 的导数。
解：由导数的定义，\[\begin{align*}f'(x)&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{2(x+\Delta x)+1}-\sqrt{2x+1}}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(\sqrt{2(x+\Delta x)+1}-\sqrt{2x+1})(\sqrt{2(x+\Delta x)+1}+\sqrt{2x+1})}{\Delta x(\sqrt{2(x+\Delta x)+1}+\sqrt{2x+1})}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2(x+\Delta x)+1-(2x+1)}{\Delta x(\sqrt{2(x+\Delta x)+1}+\sqrt{2x+1})}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2\Delta x}{\Delta x(\sqrt{2(x+\Delta x)+1}+\sqrt{2x+1})}\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2}{\sqrt{2(x+\Delta x)+1}+\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\end{align*}\]
5，导数的记号。导数还有其它的一些符号，下面这些都表示函数 \(y=f(x)\) 的导函数\[f'(x)= y’=\frac{dy}{dx}\]以下这些记号都表示函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x=a\) 处的导数 \[f'(a)=\frac{dy}{dx}\Big|_{x=a}=y'(a)\]
6，切线方程。我们知道函数在一点处的导数就是函数在该点处的切线斜率，所以，函数在一点 \(x_0,y_0\) 处的切线方程就是\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\]
例3：求函数 \(y=x^2\) 在 \(x=2\) 处的切线方程。
解：我们已经知道，函数在这一点处的导数为 \(f'(2)=4\)，函数曲线过点 \(2,4\)，所以切线方程为 \[y-4=4(x-2)\]
7，可导与连续的关系，我们有如下的
定理：若函数在一点处可导，则它必在此点连续。
证明：因为 \[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]存在，则 \(\lim_{x\to a}f(x)-f(a)=0\)。因为由极限的性质，\(f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)+\alpha\)，其中 \(\alpha\) 为 \(x\to a\) 时的无穷小。两边取极限，我们知道 \(\lim_{x\to a}f(x)-f(a)=0\)，即 \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)。
需要注意的是，这个定理的逆不成立。已知可导，必然连续，但已知连续，不一定可导。
我们来看一个连续与可导关系的例题。
例4：设 \[f(x)=\begin{cases}x^2+x+1,\quad x\le 1\\ ax+b,& x>1\end{cases}\] 问 \(a,b\)取何值时，\(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导？
分析：这里只问了可导，但有两个未知常数，如果只用导数，只能得到一个方程，是不够条件求出两个常数的。但是可导隐含了一个连续的条件，我们把这个条件加上了，就有两个方程，能够求出两个常数了。
解：若 \(f(x)\) 在 \(x=0\)处可导，则它在这点连续。所以\[\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2+x+1)=1,\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(ax+b)=b\]
左右极限相等，我们得到 \(b=1\)。
再来看导数。
左导数为\[f'(0^-)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2+x+1-1}{x}=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1\]
右导数为 \[f'(0^-)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{ax+b-1}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{ax+1-1}{x}=a\]
左右导数相等，我们得到了 \(a=1\)