我们利用函数的一阶导数就可判定函数的增减区间以及极值。实际上，导数为正，则函数增加；导数为负，则函数减少。如果函数在某一点左右，导数符号相反，则该点为函数的极值点。
我们将上面的结论叙述成定理。
1，定理：若在某区间内 \(f'(x)>0\)，则在该区间内函数 \(f(x)\) 单调增加；若若在某区间内 \(f'(x)<0\)，则在该区间内函数 \(f(x)\) 单调减少。
证明：设在区间 \((a,b)\) 内，\(f'(x)>0\)，则对于任意 \(x_1x_2\in(a,b), x_1<x_2\)，由中值定理，在区间 \((x_1,x_2)\) 内存在一点 \(c\)，使得 \(f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2)-x_1\)。因为 \(f'(c)>0\)，所以 \[f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)>0,\]即 \(f(x_2)>f(x_1)\)。
类似可证单调减少的情形。
由函数单调性的判别，我们可以得到函数极值的第一个判别条件。
2，定理（极值判别的第一条件）：设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，且在 \(x_0\) 的附近可导，
- 若 \(x<x_0\) 时， \(f'(x)>0\)；\(x>x_0\) 时，\(f'(x)<0\)，则 \(x_0\) 是函数的极大值点，\(f(x_0)\) 为函数的极大值；
- 若 \(x<x_0\) 时， \(f'(x)<0\)；\(x>x_0\) 时，\(f'(x)>0\)，则 \(x_0\) 是函数的极小值点，\(f(x_0)\) 为函数的极小值；
这个定理的结论可以直接由函数的单调性得到。第一个结论可以简单叙述为：先增加后减少，是为极大值；后一条可以叙述为：先减少后增加，是为极小值。
3，由费马引理，我们知道：极值可能的点为 \(f'(x)=0\) 的点或者 \(f'(x)\) 不存在的点。那么它们到底是不是极值，通常可用我们上面这个定理来判定。
所以求函数的极值，我们先求函数的一阶导数，然后求出一阶导数为 \(0\) 的点和一阶导数不存在的点，然后根据上面的定理来确定是不是极值。
例1：求函数 \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5\) 的增减区间与极值。
解：我们先求出一阶导数， \[f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x-2)(x+1)\]（视频上有有笔误）令 \(f'(x)=0\)，我们得到三个根： \(x_1=2,x_2=-1,x=0\)，没有其它的临界点。
当 \(x<-1\)时，\(f'(x)<0\)，所以在此区间函数单调减少。当 \(-1<x<0\) 时，\(f'(x)>0\)，函数在此区间上单调增加。当\(0<x<2\) 时，\(f'(x)<0\)，所以在此区间函数单调减少；当\(0x>2\) 时，\(f'(x)>0\)，所以在此区间函数单调增加。
\(x=-1\) 是极小值点，极小值为 \(f(-1)=0\)。 \(x=0\) 是极大值点，极大值 \(f(0)=5\)；\(x=2\) 是极小值点，极小值为 \(f(2)=-27\)。
例2：设 \(f(x)=3x^{\frac{2}{3}}-x\)，求它的增减区间与极值。
解：一阶导数为 \[f'(x)=2x^{-\frac{1}{3}}-1=\frac{2-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\]令 \(f'(x)=0\)，我们得到 \(x=8\)；\(f'(x)\) 不存在的点为 \(x=0\)，所以我们有两个临界点 \(x_1=8, x_2=0\)。
当 \(x<0\) 时，\(f'(x)<0\)，函数在此区间单调减少。当 \(0<x<8\) 时， \(f'(x)>0\)，函数在此区间单调增加。当 \(x>8\) 时，\(f'(x)<0\)，函数在此区间上单调减少。
\(x=0\) 是函数的极小值点，\(f(0)=0\) 是极小值。\(x=8\) 是极大值点，极大值为 \(f(8)=4\)。