微分中值定理包含了三个定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理以及柯西中值定理。本节我们证明这三个定理。
我们首先来看最特殊的定理：罗尔定理。
1，定理（罗尔定理）：设 \(f(x)\)满足以下三个条件
- \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续；
- 在开区间 \((a,b)\) 内可导；
- \(f(a)=f(b)\)
则在 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\)，使得 \(f'(\xi)=0\)。
证明：因为 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，所以它在区间内有最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)。
（1）假设 \(f(a)=f(b)=M=m\)，那么 \(f(x)=C\)，所以对任何 \(x\in(a,b)\)，\(f'(x)=0\)；
（2）假设最大最小值至少有一个不在端点处。不妨设 \(M=f(\xi)\)，则由费马引理，我们知道 \(f'(\xi)=0\)。
我们来看罗尔定理的一个简单应用。
例1：证明方程 \[x^3+3x+1=0\] 有唯一解。
解：我们定义函数 \(f(x)=x^3+3x+1\)。因为 \(f(-1)=-3, f(0)=1\)，由介值定理，我们知道这个函数在 \((-1,0)\) 内有一个零点。但是因为 \[f'(x)=3x^2+3>0\]所以方程只可能有一个解。因为若有两点 \(x=a, x=b\) 都是函数的零点，那么由罗尔定理，一定存在一点 \(\xi\in(a,b)\)， 使得 \(f'(\xi)=0\)，这与 \(f'(x)>0\)矛盾。所以函数只有一个零点，也就是说方程只有一个解。
２，定理（拉格朗日中值定理）：若函数 \(f(x)\)满足
- 在\([a,b]\) 上连续；
- 在 \((a,b)\) 内可导
则存在至少一点 \(\xi\in(a,b)\)，使得 \[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
注：我们一般所指的中值定理，就是指拉格朗日中值定理。它的几何意义就是函数在 \(\xi\) 处的切线斜率等于两个端点连线的直线斜率。从定理的结论来看，右边是端点连续的斜率，左边是切线的斜率。
证明：我们利用罗尔定理来证明这个结论。我们知道两个端点连线的方程为\[y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\]作函数 \[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\]
那么 \(F(a)=F(b)=0\)，所以由罗尔定理，存在一点 \(\xi\in(a,b)\)，使得 \(F'(\xi)=0\)，也就是说\[f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\]所以 \[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{n-a}\]
我们来看一个例题。
例2：\(f(x)=x^3-x\) 在\([0,2]\) 区间上连续，在 \((0,2)\) 内可导，
\[f'(x)=3x^2-1,\quad \frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{8-2}{2}=3\]
\[3x^2-1=3,\quad \Longrightarrow \quad 3x^2=4, x=\pm\frac{2}{\sqrt3}\]因为在区间 \((0,2)\) 内，所以 \(\xi=\frac{2}{\sqrt3}\)
由拉格朗日中值定理，我们可以得到一个重要的推论。
3，推论：若对所有的 \(x\in(a,b)\)， \(f'(x)=0\)，则在此区间上， \(f(x)=C\)。
证明：对区间上任意不同的两点 \(x_1\ne x_2\)，由拉格朗日中值定理，存在一点 \(\xi\in(x_1,x_2)\)，\[f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0\]由此得到 \(f(x_2)=f(x_1)\)，因为 \(x_1,x_2\) 是任意不同的两点，所以 \(f(x)=C\)
4，定理（柯西中值定理）：设函数 \(f(x), F(x)\) 满足
- 在闭区间 \([a,b]\) 上连续；
- 在开区间 \((a,b)\) 内可导；
- \(F'(x)\ne 0\)
则在区间 \((a,b)\) 内存在一点 \(\xi\in(a,b)\)，使得
\[\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-f(a)}\]
证明：我们令\[\phi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)\]我们可以验证这个函数满足罗尔定理的条件，应用罗尔定理，就可以得到要证的结论。这里我们略去细节。