我们举例说明如何求一个函数的泰勒公式，并且应用泰勒公式求近似值以及函数的极限。
从前面的课程我们知道，函数的泰勒公式为
1，泰勒公式： \[f(x)=\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^k+R_n(x)\]其中 \(R_n(x)=o(x-x_0)^n\) 为佩亚诺余项； \(R_n(x)=\frac{R^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) 为泰勒公式的拉格朗日余项。
如果 \(x_0=0\)，泰勒公式称为函数的麦克劳林公式。
如果要求一个函数的泰勒公式，我们就需要求它的各阶导数，然后求出各阶导数在这一点的值，最后代入公式即可。
例1：求 \(e^x\) 的麦克劳林公式。
解：设 \(f(x)=e^x\)，因为 \((e^x)’=e^x, (e^x)^{(n)}=e^x\)，所以 \(f^{(k)}(0)=0\)，代入到泰勒公式里面，我们有 \[e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+o(x^n)\]
例2：求 \(\sin x\) 的麦克劳林公式。
解：因为 \[\begin{array}{ll} f'(x)=\cos x, & f'(0)=1\\ f^{\prime\prime}(x)=-\sin x, & f^{\prime\prime}(0)=0\\ f^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x,& f^{\prime\prime\prime}(0)=-1\\ f^{(4)}(x)=-\sin x,&f^{(4)}(0)=0 \end{array}\] 更一般的\[f^{(k)}(0)=\begin{cases}(-1)^m, & k=2m+1\\ 0,&k=2m\end{cases}\]
所以 \(\sin x\) 的麦克劳林公式为 \[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})\]
同样的，我们可以求得 \(\cos x\) 的麦克劳林公式。\[\cos x=1-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\]
2，利用泰勒公式求极限。我们可以利用泰勒公式来求一些未定式极限，它的基本思想是用函数的泰勒公式来比较无穷小的阶。
例3：求极限 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3x}\)。
解：这些函数不复杂，但是如果要用洛必达法则来求，未必能求得出，即使能求出，也太复杂。但是用泰勒公式来求，就比较快捷简便。
我们将分子分母中的 \(\sin x, \cos x\) 都展开成麦克劳林公式，只需要展开到三阶就可以了，因为我们知道 \(\sin^3x\) 与 \(x^3\) 差不多。所以
\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3), \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2)\]代入到极限里面去，我们有
\[\begin{align*}\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3x}&=\lim_{x\to0}\frac{(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))-x(1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2))}{(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))^3}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{3}x^3+o(x^3)}{x^3+o(x^3)}=\frac{1}{3}\end{align*} \]