洛必达法则是求未定式极限最常用也是最有效的方法之一。它的基本结论是，基本未定式极限 \(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}\) 可以通过对分子分母分别求导后的极限得到。也就是说
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
1，洛必达法则（\(\frac{0}{0}\)型）：设函数 \(f(x),g(x)\)满足
- \(\lim_{x\to a }f(x)=0, \lim_{x\to a }f(x)=0\);
- \(f(x),g(x)\) 在 \(x=a\) 的领域内可导 。（\(a\)可除外）
- \(\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)存在
则 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
注：在实际计算中，我们一般不验证第三个条件，而是先求导，在求导的过程中逐步验证它是不是有极限。
这一节我们先不证明这个结论，证明作为专门的内容单独讲解。
2，洛必达法则 （\(\frac{\infty}{\infty}\)型）若我们将上面定理的第一条改成\[\lim_{x\to a}f(x)=\infty, \lim_{x\to a}g(x)=\infty\]第二、三条同上，结论仍然成立。即 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
3，\(\frac{0}{0}\) 型和 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型称作基本未定式极限。
例1：求极限 \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}\)。
解：这是 \(\frac{0}{0}\)型极限，我们对分子分母分别求导，
\[\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{1/x}{1}=1\]
例2：求极限 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)。
解：这也是 \(\frac{0}{0}\)型极限，应用洛必达法则，对分子分母分别求导，
\[\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x}=\frac{1}{6}\]最后一个等式我们应用了两个重要极限 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
例3：求极限 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}\)。
解：这是 \(\frac{\infty}{\infty}\)型的极限。应用洛必达法则第二个形式，对分子分母分别求导，我们有\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2}=+\infty\]
例4：求极限 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}}\)。
解：这也是 \(\frac{\infty}{\infty}\)型的极限。应用洛必达法则第二个形式，对分子分母分别求导，\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3}x^{-2/3}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2/3}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^{1/3}}=0\]