费马引理的结论是：如果一个可微函数在某一点取到极值，那么函数在这一点处的导数为 \(0\)。这一定理给出了求极值的必要条件，同时也是证明中值定理的关键定理。
我们以前讲到闭区间上的连续函数必定取到它的最大值与最小值。那么问题是，我们如何找到它的最大值与最小值？费马定理给出了一个必要条件。
1，极值（局部极值）：若在 \(x_0\) 的某个领域内， \(f(x)\le f(x_0)\)，我们称 \(x_0\) 为极大值点，\(f(x_0)\) 为极大值。反之\(f(x)\ge f(x_0)\)，我们称 \(x_0\) 为极小值点，\(f(x_0)\) 为极小值。
1，定理（费马引理）：若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微且 \(f(x_0)\) 是 \(f(x)\) 的极值，则 \(f'(x_0)=0\)。
证明：在 \(x_0\) 的领域内， \(f(x)\le f(x_0)\)，若 \(f(x_0)\) 是极大值则
\[\begin{align*}\Longrightarrow & x<x_0, f(x)\le f(x_0) \quad \Rightarrow \quad f(x)-f(x_0)\le 0, x<x_0\\ & x>x_0, f(x)\ge f(x_0) \quad \Rightarrow \quad f(x)-f(x_0)\le 0, x>x_0\\ \Longrightarrow & f'(x_0^-)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0\\ &f'(x_0^+)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0\end{align*}\]
由导数存在的充分必要条件，左右导数存在且相等，只能有\(f'(x_0)=0\)
3，注记：费马引理只是函数取极值的必要条件（它要求 \(f(x)\)可微。）。其实 \(f'(x_0)=0\) 只是 \(f(x_0)\) 为极值的一种可能性。它不一定能保证这个点一定是极值。
例1：\(y=x^3, y’=3x^2\)， \(y’\) 在 \(x=0\) 处为 \(0\)，但是 \(0\) 并不是 \(y=x^3\) 的极值。
例2： \(y=|x|\) 在 \(x=0\) 处取到极小值，但是它的导数在这一点不存在。
4，极值可能的点：从以上我们的分析可以看出，极值可能的点为： \((1) f'(x)=0\) 的点； (2) f'(x)\) 不存在的点。这两种点叫做函数的临界点。