1，一阶线性微分方程具有形式： \(y’+p(x)y=q(x)\)。它的解的表达式可以通过积分因子法或者常数变易法求得。
2，积分因子法：将方程两边乘以一个函数 \(r(x)\)，使得方程左边为一个函数的导数，这个 \(r(x)\) 就称为方程的积分因子。
我们这里给出积分因子法的思想，将方程两边乘以一个函数 \(r(x)\)，
\[\begin{align*}r(x)y’+r(x)p(x)y=r(x)q(x)\end{align*}\]
方程的第一项为 \(r(x)y’\)，由积的求导公式 \((uv)’=u’v+uv’\)，方程右边应该是 \((r(x)y)’\)，也就是
\[\begin{align*}r(x)y’+r(x)p(x)y=r(x)q(x)&\Rightarrow\quad (r(x)y)’=r(x)q(x)\\ &\Rightarrow\quad r(x)y’+r'(x)y=r(x)q(x)\end{align*}\]
所以我们有 \(r'(x)=r(x)p(x)\)，解这个方程，我们有 \(r(x)=e^{\int p(x)dx}\)。
所以我们有
\[\begin{align*}\left(e^{\int p(x)dx}y\right)’=e^{\int p(x)dx}q(x)\end{align*}\]
两边积分，我们有
\[e^{\int p(x)dx}y=\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\]
两边乘以 \(\displaystyle e^{-\int p(x)dx}\)，就有
\[y=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\right)\]
3，常数变易法：常数变易法的基本思想是，先求出对应齐次方程的解，然后将齐次方程的解中的常数换成函数，再代入非齐次方程里，求出未知常数，就得到了非齐次方程的解的方法。这个方法是可以应用于一般的线性非齐次方程里，而不仅是在一阶线性方程里。
一阶线性方程所对应的齐次方程为 \(y’+p(x)y=0\)，这是一个可分离变量的方程，它的通解为 \(y=Ce^{-\int p(x)dx}\)。将常数换成函数，也就是，设一阶线性方程的解为 \[y=C(x)e^{-\int p(x)dx}\]
代入到一阶线性方程里去，我们得到
\[y’=C'(x)e^{-\int p(x)dx}+C(x)e^{-\int p(x)dx}(-p(x))\]
\[\begin{align*}y’+p(x)y=q(x)&\Rightarrow\quad C'(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)\\ &\Rightarrow\quad C'(x)=e^{\int p(x)dx}q(x)\\ &\Rightarrow\quad C(x)=\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\end{align*}\]
所以方程的通解为
\[y=C(x)e^{-\int p(x)dx}=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\right)\]
这两种方法都给出了同一个公式。
现在来看例题。
例1：解方程 \(\displaystyle y’-\frac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}}\)。
解：\(displaystyle p(x)=-\frac{2}{x+1}, q(x)=(x+1)^{\frac{5}{2}}\)，代入到解的表达式里去
\[\begin{align*}y&=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\right)\\ &=e^{\frac{2}{x+1}}\left(\int e^{\int -\frac{2}{x+1}dx}(x+1)^{\frac{5}{2}}dx+C\right)\\ &=(x+1)\left(\int(x+1)^{-1}(x+1)^{\frac{5}{2}}dx+C\right)\\ &=(x+1)\left(\int(x+1)^{\frac{3}{2}}dx+C\right)\\ &=(x+1)\left(\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}+C\right)\end{align*}\]
也就是说方程的通解为 \[y=(x+1)\left(\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}+C\right)\]
例2：解方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+1}\)。
解：初步一看，这个方程似乎不是一阶线性方程。但是如果我们将方程倒过来，
\[\frac{dx}{dy}=x+y\quad \Rightarrow\quad \frac{dx}{dy}-x=y\]
那么这就是一个一阶线性方程了，只是这里的因变量为 \(x\)，自变量为 \(y\)，\(p(y)=-1, q(y)=y\)。根据一阶线性方程的解的表达式
\[\begin{align*}x&=e^{-\int p(y)dy}\left(\int e^{\int p(y)dy}q(y)dy+C\right)\\ &=e^y\left(\int e^{-y}ydy+C\right)\\ &=e^y(-ye^{-y}-e^{-y}+C)\\ &=Ce^y-y-1\end{align*}\]
所以方程的通解为 \[x=Ce^y-y-1\]