可降阶的高阶微分方程

有些高阶方程，可以通过适当的方法降阶，从而简化求解的过程。

1，$y^n=f(x)$，这种形式的微分方程，只需要求积分就行。

例1：解方程 $y^{\prime \prime \prime }=\sin x$。

解：依次求积分 $$y^{\prime \prime }=-\cos x+C_1,y^{\prime }=-\sin x+C_{1}x+C_2,y=\cos x+C_1{x}^2+C_{2}x+C_3$$

2，方程 $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$。这种方程不显含 $y$，只需要令 $p=y^{\prime }$，则方程化为 $p^{\prime }=f(x,p)$，然后利用一阶方程的方法求解。

例2：解微分方程 $(1+x^2)y^{\prime \prime }2x{y}^{\prime }$。

解：令 $p=y^{\prime }$，则方程化为

$$(1+x^2)p^{\prime }=2xp$$分离变量

$$\frac{dp}{p}=\frac{2x}{1+x^2}$$

两边积分，我们得到 $$\ln |p|=\ln (1+x^2)+C=\ln (C_1(1+x^2)),\Rightarrow p=C_1(1+x^2)$$

所以 $y^{\prime }=C_1+C_1{x}^2$，再来积分一次，

$$y=C_2+C_{1}x+\frac{C_1{x}^3}{3}$$

3，方程 $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$，方程不显含 $x$。我们做变换 $p=y^{\prime }$，将 $y$ 看成自变量，

$$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$$

所以方程变成

$$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$$再利用一阶方程的方法求解。

例3：解方程 $y{y}^{\prime \prime }-(y^{\prime }{)}^2=0$

解：令 $p=y^{\prime }$，则 ${\displaystyle y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}}$，

$$\begin{array}{rl}yp\frac{dp}{dy}-p^2=0& \Rightarrow yp\frac{dp}{dy}=p^2\\ & \Rightarrow \frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}\\ & \Rightarrow \ln |p|=\ln |y|+C_1\\ & \Rightarrow p=C_{1}y\\ & \Rightarrow \frac{dy}{dx}=C_{1}y\\ & \Rightarrow \frac{dy}{y}=C_1\\ & \Rightarrow \ln |y|=C_{1}x+C_2\\ & \Rightarrow y=C_2{e}^{C_{1}x}\end{array}$$