有些高阶方程，可以通过适当的方法降阶，从而简化求解的过程。
1，\(y^{n}=f(x)\)，这种形式的微分方程，只需要求积分就行。
例1：解方程 \(y^{\prime\prime\prime}=\sin x\)。
解：依次求积分 \[y^{\prime\prime}=-\cos x+C_1,\quad y’=-\sin x+C_1x+C_2,\quad y=\cos x+C_1x^2+C_2x+C_3\]
2，方程 \(y^{\prime\prime}=f(x,y’)\)。这种方程不显含 \(y\)，只需要令 \(p=y’\)，则方程化为 \(p’=f(x,p)\)，然后利用一阶方程的方法求解。
例2：解微分方程 \((1+x^2)y^{\prime\prime}2xy’\)。
解：令 \(p=y’\)，则方程化为
\[(1+x^2)p’=2xp\]分离变量
\[\frac{dp}{p}=\frac{2x}{1+x^2}\]
两边积分，我们得到 \[\ln|p|=\ln(1+x^2)+C=\ln(C_1(1+x^2)),\quad\Rightarrow\quad p=C_1(1+x^2)\]
所以 \(y’=C_1+C_1x^2\)，再来积分一次，
\[y=C_2+C_1x+\frac{C_1x^3}{3}\]
3，方程 \(y^{\prime\prime}=f(y,y’)\)，方程不显含 \(x\)。我们做变换 \(p=y’\)，将 \(y\) 看成自变量，
\[y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\]
所以方程变成
\[p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\]再利用一阶方程的方法求解。
例3：解方程 \(yy^{\prime\prime}-(y’)^2=0\)
解：令 \(p=y’\)，则 \(\displaystyle y^{\prime\prime}=p\frac{dp}{dy}\)，
\[\begin{align*}yp\frac{dp}{dy}-p^2=0&\Rightarrow\quad yp\frac{dp}{dy}=p^2\\ &\Rightarrow\quad\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}\\ &\Rightarrow\quad \ln|p|=\ln|y|+C_1\\ &\Rightarrow\quad p=C_1y\\ &\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=C_1y\\ &\Rightarrow\quad\frac{dy}{y}=C_1\\ &\Rightarrow\quad \ln|y|=C_1x+C_2\\ &\Rightarrow\quad y=C_2e^{C_1x}\end{align*}\]