非齐次方程的解，可以通过常数变易法来求，也可以通过待定系数法来求解。这一节我们采用待定系数法来求解常系数非齐次线性微分方程 \(y^{\prime\prime}+py’+qy=f(x)\)。
待定系数法求非齐次线性微分方程，根据非齐次项的形式采用不同的解的表达式。也就是说，待定系数法，取决于微分方程的形式。
这一节我们主要考虑非齐次项为 \(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\) 形式的方程，这里 \(P_m(x)\) 是 \(n\) 阶多项式。
1，特解的形式：我们知道非齐次微分方程的解是齐次方程的通解加上一个特解。所以对于非齐次方程，我们只需要求出特解就行了，因为齐次方程的解我们可以用上一节的方法求出。
因为\(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\)，所以方程左边也应该是 \(e^{\lambda x}\) 有关。我们设方程的特解为 \(y_p=u(x)e^{\lambda x}\)，
\[y’=u'(x)e^{\lambda x}+\lambda u(x)e^{\lambda x}=e^{\lambda x}\left(u'(x)+u(x)\right)\]
\[ y^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}e^{\lambda x}+2\lambda u'(x)e^{\lambda x}+\lambda^2u(x)e^{\lambda x}=e^{\lambda x}(u^{\prime\prime}+2\lambda u'(x)+\lambda^2 u(x))\]
代入到微分方程里去，
\[\begin{align*}y_p^{\prime\prime}+py_p’+qy_p&=e^{\lambda x}(u^{\prime\prime}+2\lambda u'(x)+\lambda^2 u(x))+pe^{\lambda x}\left(u'(x)+u(x)\right)+qu(x)e^{\lambda x} \\ &=e^{\lambda x}\left[u^{\prime\prime}+u'(2\lambda+p)+u(\lambda^2+\lambda p+q)\right]\\ &=P_m(x)e^{\lambda x}\end{align*}\]
从而 \(u(x)\) 满足微分方程\[u^{\prime\prime}+u'(2\lambda+p)+u(\lambda^2+\lambda p+q)=P_m(x)\]
我们分几种情况：
（1）若\(\lambda^2+\lambda p+q\ne 0\)，则 \(\lambda \) 不是特征方程的根，\(\Longrightarrow\) \(u\) 的阶与 \(P_m(x)\) 的阶一样，可以设
\[u(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0\]
这些系数待定；
（2）若 \(\lambda^2+\lambda p+q=0\) 但是 \(2\lambda+p\ne 0\)，\(\Longrightarrow\) \(u\) 的阶比 \(P_m(x)\) 高一阶，可以设
\[u(x)=x(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0)\]
（3）若 \(\lambda^2+\lambda p+q=0, 2\lambda+p=0\)，\(\Longrightarrow\) \(u\) 的阶比 \(P_m(x)\) 高二阶，可以设
\[u(x)=x^2(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0)\]
2，结论：
- 若 \(\lambda\) 不是特征方程的根，\[u(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0\]
- 若 \(\lambda\) 是特征方程的单根，\[u(x)=x(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0)\]
- 若 \(\lambda\) 是特征方程的重根，\[u(x)=x^2(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0)\]
所有的系数可以通过微分方程 \[u^{\prime\prime}+u'(2\lambda+p)+u(\lambda^2+\lambda p+q)=P_m(x)\]来确定。
例1：求微分方程 \(y^{\prime\prime}-y’-2y=x+1\) 的一个特解。
解：这里 \(\lambda=0\)，特征方程为 \(r^2-r-2=0\)，特征根为 \(r_1=-1. r_2=2\)， 所以 \(\lambda=0\) 不是特征方程的根。我们设 \(u(x)=Ax+b, y_p=Ax+b\)，则 \(u’=A,u^{\prime\prime}=0\)，代入到微分方程
\[-A-2(Ax+B)=x+1,\quad -2Ax-(A+2B)=x+1\]
解得 \(\displaystyle A=-\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{4}\)。所以方程的特解为 \(y_p=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)。
例2：求微分方程 \(y^{\prime\prime}-5y’+6y=xe^{2x}\) 的通解。
解：\(\lambda=2\)，特征方程为 \(r^2-5r+6=0\)，特征根为 \(r_1=2,r_2=3\)，所以 \(\lambda=2\) 是特征方程的单根。对应齐次微分方程的通解为
\[y_h=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}\]
方程的特解可设为 \[y_p=e^{2x}x(Ax+B)\]
\(u(x)=x(Ax+B)=Ax^2+Bx, u’=2Ax+B, u^{\prime\prime}=2A\)，代入到微分方程
\[u^{\prime\prime}+u'(2\lambda+p)+u(\lambda^2+\lambda p+q)=P_m(x)\]
并且注意到 \(\lambda^2+\lambda p+q=0\)，我们有
\[2A+(4-5)(2Ax+B)=x\quad\Rightarrow\quad 2A-2Ax-B=x\]
解得 \(A=-\frac{1}{2}, B=-1\)，所以特解为
\[y_p=-(\frac{1}{2}x+1)e^{2x}\]
所以方程的通解为 \[y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-(\frac{1}{2}x+1)e^{2x}\]