这一节我们考虑非齐次微分方程 \(y^{\prime\prime}+py’+qy=f(x)\)，\(f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\cos(wx)+P_n(x)\sin(wx)\) 的情形。
我们将这一种情形化成上一节所讲述的情形来处理。由欧拉公式，我们知道三角函数可以用复指数函数表示
\[\begin{cases}e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\\ e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases}\cos\theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{i\theta})\\ \sin\theta=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\end{cases}\]
所以
\begin{align*}e^{\lambda x}P_m(x)\cos(wx)&=e^{\lambda x}P_m(x)(e^{iwx}+e^{-iwx})\\ &=\frac{1}{2}\left(P_m(x)e^{(\lambda+iw) x}+P_m(x)e^{(\lambda-iw) x}\right)\end{align*}
\[\begin{align*}e^{\lambda x}P_n(x)\sin(wx)&=e^{\lambda x}P_n(x)(e^{iwx}+e^{-iwx})\\ &=\frac{1}{2i}\left(P_n(x)e^{(\lambda+iw) x}+P_n(x)e^{(\lambda-iw) x}\right)\\ &=\frac{-i}{2}\left(P_n(x)e^{(\lambda+iw) x}-P_n(x)e^{(\lambda-iw) x}\right)\end{align*}\]
所以 \[\begin{align*}e^{\lambda x}P_m(x)\cos(wx)&+P_n(x)\sin(wx)\\ &=\frac{P_m(x)-iP_n(x)}{2}e^{(\lambda+iw) x}\\ &\quad+\frac{P_m(x)+iP_n(x)}{2}e^{(\lambda-iw) x}\end{align*}\]
记 \[f_1(x)=\frac{P_m(x)-iP_n(x)}{2}e^{(\lambda+iw) x}, f_2(x)=\frac{P_m(x)+iP_n(x)}{2}e^{(\lambda-iw) x}\]
由我们之前讲述的，两个方程
\[y^{\prime\prime}+py’+qy=f_1(x), y^{\prime\prime}+py’+qy=f_2(x)\]
的解之和为原方程的解。又因为 \(f_2(x)=\overline{f_1(x)}\)，所以若 \(y_1\) 是第一个方程的解，则 \(\overline{y_1}\) （共轭函数）就是第二个方程的解。
由前一节的结果，方程 \(y^{\prime\prime}+py’+qy=f_1(x)\) 的解为 \(u(x)e^{(\lambda+iw)x}\)
- 若 \(\lambda+iw\) 不是特征方程的根，则 \[u(x)=a_kx^m+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0\]
- 若 \(\lambda+iw\) 是特征方程的根，则 \[u(x)=a_kx^m+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0\]
这里 \(k=\max(m,n)\) 是 \(m,n\) 中最大的那一个数字。
3，结论：原方程的特解为
\[\begin{align*}y_p&=u(x)e^{(\lambda+iw)x}+\overline{u(x)}e^{(\lambda-iw)x}\\ &=e^{\lambda x}x^t(P(x)\cos(wx)+Q(x)\sin(wx))\end{align*}\]
这里 \(t=0\)，若 \(\lambda+iw\) 不是特征方程的根；\(t=1\)，若 \(\lambda+iw\) 是特征方程的根。\[P(x)=a_kx^m+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0,\quad Q(x)=b_kx^m+b_{k-1}x^{k-1}+\cdots+b_1x+b_0\]
例1： 求微分方程 \(y^{\prime\prime}y=x\cos2x\) 的一个特解。
解：这里 \(\lambda=0, w=2\)。特征方程为 \(r^2+1=0\)，特征根为 \(\pm i\)。所以 \(\lambda +iw=2i\) 不是特征方程的根。可设
\[y_p=(Ax+B)\cos 2x+(Cx+D)\sin 2x\]
它的一、二阶导数为
\[\begin{align*}y’_p&=A\cos 2x-2(Ax+B)\sin2x+C\sin 2x+2(Cx+D)\cos2x\\ &=(A+2Cx+2D)\cos2x+(C-2Ax-2B)\sin2x\end{align*}\]
\[\begin{align*}y^{\prime\prime}&=2C\cos2x-2A\sin2x-2(A+2Cx+2D)\sin2x+2(C-2Ax-2B)\cos2x\\ &=\cos2x(2C+2C-4Ax-4B)+\sin2x(-2A-2A-4Cx-4D))\\ &=\cos2x(4C-4Ax-4B)+\sin2x(-4A-4Cx-4D)\end{align*}\]
代入到微分方程里去，
\[\begin{align*}y^{\prime\prime}+y&=\cos2x(4C-4Ax-4B)+\sin2x(-4A-4Cx-4D)\\ &\quad+(Ax+B)\cos 2x+(Cx+D)\sin 2x\\ &=\cos2x(4C-3Ax-3B)+\sin2x(-4A-3Cx-3D)\\ &=x\cos2x\end{align*}\]
由此我们得到
\[\begin{cases}4C-3Ax-3B=x\\ -4A-3Cx-3D=0\end{cases}\]
解这个方程组，我们得到
\[A=-\frac{1}{3}, B=0,C=0,D=\frac{4}{9}\]
所以我们得到方程的特解为
\[y_p=-\frac{1}{3}x\cos2x+\frac{4}{9}\sin2x\]
例2：求微分方程 \(y^{\prime\prime}+y=\cos x\) 的通解。
解：这里 \(\lambda=0,w=1\)，由上例，特征方程的根为 \(\pm i\)，对应齐次方程的通解为 \(y_h=C_1\cos x+C_2\sin x\)所以 \(\lambda+i=i\) 是特征方程的根。从面我们设特解为
\[y_p=Ax\cos x+Bx\sin x\]
它的一、二阶导数为
\[\begin{align*}y_p’&=A\cos x-Ax\sin x+B\sin x+Bx\cos x\\ &=\cos x(A+Bx)+\sin x(-Ax+B)\end{align*}\]
\[\begin{align*}y_p^{\prime\prime}&=B\cos x-\sin x(A+Bx)-A\sin x+\cos x(-Ax+B)\\ &=\cos x(B-Ax+B)+\sin x(-A-A-Bx)\\ &=\cos x(-Ax+2B)+\sin x(-2A-Bx)\end{align*}\]
代入到微分方程里去
\[\begin{align*}y^{\prime\prime}+y&=\cos x(-Ax+2B)+\sin x(-2A-Bx)+Ax\cos x+Bx\sin x\\ &=2B\cos x-2A\sin x=\cos x\end{align*}\]
由此可得到 \(A=0,B=\frac{1}{2}\)。所以特解为 \[y_p=\frac{1}{2}x\sin x\]
方程的通解为
\[y=y_h+y_p=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{1}{2}x\sin x\]