1，二阶常系数齐次线性微分方程：\(y^{\prime\prime}+py’+qy=0\)，其中 \(p,q\) 是常数。因为函数与函数的导数是线性相关，也就是说，函数的导数与函数本身只相差一些常数。具有这个性质的函数只有指数函数与三角函数。而由欧拉公式，三角函数可以用指数函数表示。
所以我们假设方程的解为 \(y=e^{rx}\)，代入方程中，我们有
\[r^2e^{rx}+pre^{rx}+qe^{rx}=0\quad\Rightarrow\quad (r^2+pr+q)e^{rx}=0\]
所以 \[r^2+pr+q=0\]
这个方程叫做微分方程 \(\y^{\prime\prime}+py’+qy=0) 的特征方程。
2，特征根：由特征方程，特征根有三种情形
- \(p^2-4q>0, r_1\ne r_2\) 都是实根，则 \(y_1=e^{r_1x}, y_2=e^{r_2x}\) 都是解且线性无关；
- \(p^2-4q=0, r_1= r_2\) 是重根，则特征方程只给出一个解 \(y_1=e^{rx}；
- \(p^2-4q<0, r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)，则 \(y_1=e^{(\alpha+i\beta)x},y_1=e^{(\alpha-i\beta)x} \) 是两个复函数解。
3，通解的形式：
（1）若 \(r_1\ne r_2\) 都是实根，则 \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\);
（2）若 \(r_1=r_2\) 是重根，则特征方程只给出一个解 \(y_1=e^{rx}\)，我们需要找到另一个与 \(y_1\) 线性无关的解 \(y_2\)。
因为 \(y_1,y_2\) 线性无关，所以它们之比不是常数，是函数，即 \(\frac{y_2}{y_1}=u(x)\)。所以 \(y_2=u(x)y_1\)，
\[y_2’=u(x)y’_1+u'(x)y_1, \quad y_2^{\prime\prime}=u(x)y_1^{\prime\prime}+2u'(x)y’_1+u^{\prime\prime}(x)y_1\]
代入到微分方程里去，
\[\begin{align*}&y_2^{\prime\prime}+py’_2+qy_2=0\\ \Rightarrow& u(x)y_1^{\prime\prime}+2u'(x)y’_1+u^{\prime\prime}(x)y_1+p(u(x)y’_1+u'(x)y_1)+qu(x)y_1=0\\ \Rightarrow& u^{\prime\prime}y_1+u'(2y_1’+py_1)+u(y_1^{\prime\prime}+py_1’+qy_1)=0\end{align*}\]
因为 \(y_1\) 是微分方程的解，所以 \(y_1^{\prime\prime}+py_1’+qy_1=0\)。再将 \(y_1=e^{rx}\) 代入上式，
\[\begin{align*} u^{\prime\prime}y_1+u'(2re^{rx}+p)=0\end{align*}\]
因为 \(p^2-4q=0\)，所以 \(r=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}=-\frac{p}{2}\)，所以 \(r=-\frac{p}{2}\)，从而 \(2r+p=0\)。上式变成
\[\begin{align*}u^{\prime\prime}y_1=0\quad\Rightarrow\quad u^{\prime\prime}=0\end{align*}\]
所以 \(u=C_x+C_2\)，我们只需要取 \(u=x\)， \(y_2=xy_1\)。所以方程的通解为
\[y=(C_1+C_2x)y_1\]
（3）若特征根为一对复数 \(p^2-4q<0, r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)， \(y_1=e^{(\alpha+i\beta)x},y_1=e^{(\alpha-i\beta)x} \) 是两个复函数解。微分方程是实微分方程，我们需要的是实函数解。
由欧拉公式 \[e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta, e^{-i\theta}=\cos \theta-i\sin \theta\]
两个复函数可以分别表示成
\[y_1=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x), \quad y_2=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)-i\sin(\beta x)\]
由上一节解的理论，它们的和、差仍然是齐次线性微分方程的解。记
\[\bar{y}_1=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{\alpha x}\cos(\beta x), \bar{y}_2=\frac{1}{2i}(y_1-y_2)=e^{\alpha x}\sin(\beta x)\]
仍然是齐次微分方程的解，而且它们之间线性无关，所以方程的通解为
\[y=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\]
4，总结：若特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的解为
- 若 \(r_1\ne r_2\) 都是实根，则方程的通解为 \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\);
- 若 \(r_1=r_2\) 是重根，则方程的通解为 \(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\);
- 若特征根为一对复数 \(p^2-4q<0, r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)，则方程的通解为 \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\)。
例1：求微分方程 \(y^{\prime\prime}-y’-2y=0\) 的通解。
解：特征方程为 \(r^2-r-2=0\)。因为 \(r^2-r-2=(r-2)(r+1)=0\)，所以特征根为 \(r_1=2,r_2=-1\)，所以微分方程的通解为
\[y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}\]
例2：求微分方程 \(y^{\prime\prime}+4y’+4y=0\) 的通解。
解：特征方程为 \(r^2+4r+4=(r+2)^2=0\)，特征根为 \(r_{1,2}=-2\) 是重根，所以方程的通解为 \[y=(C_1+C_2x)e^{-2x}\]
例3：求微分方程 \(y^{\prime\prime}+4y’+29y=0\) 在初值条件 \(y(0)=0, y'(0)=15\) 下的解。
解：特征方程为 \(r^2+4r+29=0\)，特征根为
\[r_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot 29}}{2}=-2\pm10i\]
所以方程的通解为
\[y=e^{-2x}(C_1\cos(10x)+C_2\sin(10x))\]
由初值条件 \(y(0)=0\)，代入通解表达式，\(0=C_1\)，所以 \[y=C_2e^{-2x}\sin(10x), y’=C_2(-2e^{-2x}\sin(10x)+10e^{-2x}\cos(10x))\]再由初值条件 \(y'(0)=15\)，得到 \(15=10C_2\)，所以 \(C_2=\frac{3}{2}\)。所以初值问题的解为
\[y=\frac{3}{2}e^{-2x}\sin(10x)\]
二阶常系数齐次线性微分方程的解的理论可以推广到一般的常系数线性微分方程。
5，\(n\) 阶常系数齐次线性分方程： \(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0=0\)，它的特征方程为 \(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0\)，若特征方程有
- 单实根 \(r\)，则方程的通解中有一项 \(e^{rx}\);
- \(k\) 重根 \(r\)，则通解中的 \(k\) 项 \((C_1+C_2x+\cdots+C_{k}x^{k-1})e^{rx}\)；
- 一对复根 \(\alpha\pm i\beta\)，则通解中有两项 \(e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))\);
- \(k\) 重复根 \(\alpha\pm i\beta\)，则通解中有 \(2k\) 项 \(e^{\alpha x}((C_1+C_2x++\cdots+C_{k}x^{k-1})\cos(\beta x)+(D_1+D_2x++\cdots+D_{k}x^{k-1})\sin(\beta x))\);