这一节是微分方程的一些基本概念。
1，微分方程：含有未知函数的导数的方程
\(\displaystyle\quad y’=3x^2+1\)，\(\displaystyle y’+4y’+4y=0\)，\(\left(y’\right)^2+y\cdot y’+\sin x=0\)
2，微分方程的解：函数\(\ y=f(x)\ \)满足微分方程，称\(\ y=f(x)\ \)是微分方程的一个解
\(\displaystyle x^2+y^2=C\ \) 是微分方程\(\displaystyle\ y’=-\frac{x}{y}\ \) 的解
\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\quad\Rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)
3，阶：方程中出现的最高阶导数的阶
\(\displaystyle\quad y^{\prime\prime}+4y’+4y=0\quad\ \)二阶
\(\displaystyle\quad y’+\sin x\cdot y=\cos x\quad\ \)一阶
\(\displaystyle\quad (y’)^2+ y\cdot y’=\sin x\quad\ \)一阶
4，线性方程：未知函数及其所有阶导数的系数只跟\(\ x\ \)有关
\(\ \ \)非线性方程：未知函数或其某一阶导数的系数与\(\ y\ \)或\(\ y\ \)的导数有关
\(\displaystyle\quad y^{\prime\prime}+4y’+4y=0\quad\ \)线性
\(\displaystyle\quad y’+\sin x\cdot y=\cos x\quad\ \)线性
\(\displaystyle\quad (y’)^2+ y\cdot y’=\sin x\quad\ \)非线性
\(\displaystyle\quad y’+e^y=\tan x\quad\ \)非线性
\(\displaystyle\quad y’+\sin y=\cos x\quad\ \)非线性
5，通解：含有任意常数的解，且任意常数的个数与方程的阶数一致，
\(\qquad\qquad\)任意常数之间是相互独立的。
\(\ \ \)特解：任意常数确定了的解，叫做方程的特解。
6，初值问题：给定\(\ y(x_0)\ \)，\(\ y'(x_0)\ \)，\(\cdots\)，\(y^{(n-1)} (x_0)\)条件（即 初值条件）下的微分方程。
初值问题的解是一种特解
\(\begin{cases} y’=2x, & 0<x<1\\y(0)=1, & x=0\end{cases}\)