当自变量的绝对值越来越大，或者自变量变得越来越大的时候，函数的变化趋势，就是函数在无穷远处的极限。我们给出这种极限的定义，以及这种极限的常用求法。
我们可以直观地定义函数在无穷远处的极限。
1，定义：当 \(x\) 无限增大时，函数 \(f(x)\) 无限接近于数 \(A\)，我们称 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 在正无穷远处的极限。记为 \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=A\]更严格一点的说法是：当 \(x\) 足够大时，函数 \(f(x)\) 与数 \(A\) 之间的距离可以任意小。
同样，我们定义 \(f(x)\) 在负无穷远处的极限。当 \(x\) 无限不断变小时，函数 \(f(x)\) 无限接近于数 \(A\)，我们称 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 在正无穷远处的极限。记为 \[\lim_{x\to-\infty}f(x)=A\]
2，由无穷远处的极限的定义，我们有下列的基本事实：\[\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,\quad\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\]
\[\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty,\quad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty\]
\(n\) 为自然时， \[\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}x^n=\begin{cases}+\infty,\quad& n=2m\\ -\infty, & n=2m+1\end{cases}\]
3，常见函数在无穷远处的极限：\[\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}e^x=0, \quad \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2},\quad \lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}\]
4，无穷远处的极限的计算。对有理函数来说，我们可以直接比较无穷大的阶，或者说，直接除以分子或者分母的最高阶项，就可以得到极限值。另外，我们之前学过的四则运算及一些初等技巧，都可以在这里用。
我们先来看一下怎么比较无穷大的阶。我们的基本方法就是除以分子或者分母的最高阶。
例1：\[\begin{align*}(1)&\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+5}{6x-8}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{3x}{x}+\frac{5}{x}}{\frac{6x}{x}-\frac{8}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3+\frac{5}{x}}{6-\frac{8}{x}}=\frac{1}{2}\\ (2)&\lim_{x\to-\infty}\frac{5x^2+7}{3x^2-5}=\lim_{x\to-\infty}\frac{5+\frac{7}{x^2}}{3-\frac{5}{x^2}}=\frac{5}{3}\\ (3)&\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+x+1}{x^3-3x+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{1-\frac{3}{x^2}+\frac{5}{x^3}}=0\\ (4)&\lim_{x\to+\infty}\frac{7-6x^5}{x+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{7}{x^5}-6}{\frac{1}{x^4}+\frac{5}{x^5}}=-\infty\end{align*}\]
有根号的时候，我们也可以比较无穷大的阶，但是需要注意正负号。
例2：求极限 \[(1)\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3},\qquad (2)\quad \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3}\]
解：（1）我们把分子分母同除以 \(x\)，注意到 \(x>0, x=\sqrt{x^2}\)，所以 \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x}}{\frac{x+3}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{\sqrt{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5-\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\sqrt5\]
（2）我们同样把分子分母同除以\(x\)，注意到 \(x<0, x=-\sqrt{x^2}\)，所以 \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x}}{\frac{x+3}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{-\sqrt{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-\sqrt{5-\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=-\sqrt5\]
上面的例子说明了，如果有根号，我们要注意的地方。
现在我们来看一下，别的初等方法的应用。
例3：求极限 \[(1)\quad \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x},\qquad(2)\quad\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+3x}+x\]
解：（1）我们对函数有理化，\[\begin{align*}\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}&= \lim_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x})(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x})}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x-x^2+x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}=1\end{align*}\]
最后第二个等式，我们将分子分母同除以 \(x\)，再应用了上题的方法。
（2）同样的，我们对函数有理化（因为极限是 \(\infty-\infty\)情形，不能直接应用极限运算法则）\[\begin{align*}\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+3x}+x&=\lim_{x\to-\infty}\frac{(\sqrt{x^2+3x}+x)(\sqrt{x^2+3x}-x)}{\sqrt{x^2+3x}-x}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}-x}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{3}{-\sqrt{1+\frac{3}{x}}-1}=-\frac{3}{2}\end{align*}\]
倒数第二个等式，是因为分子分母同除以 \(x\)，并且应用了 \(x=-\sqrt{x^2}\) 这一事实。
例4，
\[\begin{align*}(1) \lim_{x\to\infty}\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}=1\\ (2) \lim_{x\to-\infty}\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=-1\end{align*}\]
例5\[ \begin{align*}\lim_{x\to \infty}\frac{(2x+5)^{30}(3x-1)^{20}}{(5x+2)^{50}}&=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{(2x+5)^{30}(3x-1)^{20}}{x^{50}}}{\frac{(5x+2)^{50}}{x^{50}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{(2x+5)^{30}}{x^{30}}\cdot \frac{(3x-1)^{20}}{x^{20}}}{\frac{(5x+2)^{50}}{x^{50}}}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{(2+\frac{5}{x})^{30}\cdot(3-\frac{1}{x})^{20}}{(5+\frac{2}{x})^{50}}=\frac{2^{30}\cdot3^{20}}{5^{50}}\end{align*}\]