函数在无穷远处的极限

当自变量的绝对值越来越大，或者自变量变得越来越大的时候，函数的变化趋势，就是函数在无穷远处的极限。我们给出这种极限的定义，以及这种极限的常用求法。

我们可以直观地定义函数在无穷远处的极限。

1，定义：当 $x$ 无限增大时，函数 $f (x)$ 无限接近于数 $A$ ，我们称 $A$ 为函数 $f (x)$ 在正无穷远处的极限。记为 $lim_{x \to + \infty} f (x) = A$ 更严格一点的说法是：当 $x$ 足够大时，函数 $f (x)$ 与数 $A$ 之间的距离可以任意小。

同样，我们定义 $f (x)$ 在负无穷远处的极限。当 $x$ 无限不断变小时，函数 $f (x)$ 无限接近于数 $A$ ，我们称 $A$ 为函数 $f (x)$ 在正无穷远处的极限。记为 $lim_{x \to - \infty} f (x) = A$

2，由无穷远处的极限的定义，我们有下列的基本事实： $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0, lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0$

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty, lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$

$n$ 为自然时， $lim_{x \to + \infty} x^{n} = + \infty, lim_{x \to - \infty} x^{n} = {\begin{cases} + \infty, & n = 2 m \\ - \infty, & n = 2 m + 1 \end{cases}$

3，常见函数在无穷远处的极限： $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty, lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0, lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$

$lim_{x \to + \infty} \arctan x = \frac{π}{2}, lim_{x \to - \infty} \arctan x = - \frac{π}{2}$

4，无穷远处的极限的计算。对有理函数来说，我们可以直接比较无穷大的阶，或者说，直接除以分子或者分母的最高阶项，就可以得到极限值。另外，我们之前学过的四则运算及一些初等技巧，都可以在这里用。

我们先来看一下怎么比较无穷大的阶。我们的基本方法就是除以分子或者分母的最高阶。

例1： $\begin{aligned} (1) & lim_{x \to + \infty} \frac{3 x + 5}{6 x - 8} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}{\frac{6 x}{x} - \frac{8}{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{3 + \frac{5}{x}}{6 - \frac{8}{x}} = \frac{1}{2} \\ (2) & lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 7}{3 x^{2} - 5} = lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{7}{x^{2}}}{3 - \frac{5}{x^{2}}} = \frac{5}{3} \\ (3) & lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} + x + 1}{x^{3} - 3 x + 5} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}}{1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}} = 0 \\ (4) & lim_{x \to + \infty} \frac{7 - 6 x^{5}}{x + 5} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{7}{x^{5}} - 6}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{5}{x^{5}}} = - \infty \end{aligned}$

有根号的时候，我们也可以比较无穷大的阶，但是需要注意正负号。

例2：求极限 $(1) lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{x + 3}, (2) lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{x + 3}$

解：（1）我们把分子分母同除以 $x$ ，注意到 $x > 0, x = \sqrt{x^{2}}$ ，所以 $lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{x + 3} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{x}}{\frac{x + 3}{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{\sqrt{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}} = \sqrt{5}$

（2）我们同样把分子分母同除以 $x$ ，注意到 $x < 0, x = - \sqrt{x^{2}}$ ，所以 $lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{x + 3} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{x}}{\frac{x + 3}{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{- \sqrt{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{- \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}} = - \sqrt{5}$

上面的例子说明了，如果有根号，我们要注意的地方。

现在我们来看一下，别的初等方法的应用。

例3：求极限 $(1) lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{2} + x} - \sqrt{x^{2} - x}, (2) lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + 3 x} + x$

解：（1）我们对函数有理化， $\begin{aligned} lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{2} + x} - \sqrt{x^{2} - x} & = lim_{x \to + \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x} - \sqrt{x^{2} - x}) (\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} - x})}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} - x}} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + x - x^{2} + x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} - x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} - x}} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = 1 \end{aligned}$

最后第二个等式，我们将分子分母同除以 $x$ ，再应用了上题的方法。

（2）同样的，我们对函数有理化（因为极限是 $\infty - \infty$ 情形，不能直接应用极限运算法则） $\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + 3 x} + x & = lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 3 x} + x) (\sqrt{x^{2} + 3 x} - x)}{\sqrt{x^{2} + 3 x} - x} \\ = lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 3 x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 3 x} - x} = lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 3 x} - x} \\ = lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- \sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1} = - \frac{3}{2} \end{aligned}$

倒数第二个等式，是因为分子分母同除以 $x$ ，并且应用了 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 这一事实。

例4，

$\begin{array}{r} (1) lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = lim_{x \to \infty} \frac{1 + e^{- 2 x}}{1 - e^{- 2 x}} = 1 \\ (2) lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = lim_{x \to \infty} \frac{e^{2 x} + 1}{e^{2 x} - 1} = - 1 \end{array}$

例5 $\begin{aligned} lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 5)^{30} (3 x - 1)^{20}}{(5 x + 2)^{50}} & = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(2 x + 5)^{30} (3 x - 1)^{20}}{x^{50}}}{\frac{(5 x + 2)^{50}}{x^{50}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(2 x + 5)^{30}}{x^{30}} \cdot \frac{(3 x - 1)^{20}}{x^{20}}}{\frac{(5 x + 2)^{50}}{x^{50}}} \\ = lim_{x \to \infty} \frac{(2 + \frac{5}{x})^{30} \cdot (3 - \frac{1}{x})^{20}}{(5 + \frac{2}{x})^{50}} = \frac{2^{30} \cdot 3^{20}}{5^{50}} \end{aligned}$