无穷小是极限为 \(0\) 的量，无穷大为极限的绝对值可以大于任意数的量。在一个极限过程中为无穷小，那么它的倒数为无穷大。
1，无穷小：极限为 \(0\) 的量称为无穷小（无穷小量），即 \(\lim_{x\to a}f(x)=0\)，我们称 \(f(x)\) 为 \(x\to a\) 时的无穷小（量）。
2，无穷大：极限的绝对值可以大于任意给定的正数，我们称之为无穷大（量）。即 \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\)，我们称 \(f(x)\) 为 \(x\to a\) 时的无穷大（量）。
3，无穷小与无穷大互为倒数关系，即我们有如下的
定理：\[\lim_{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow \lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\pm\infty\]
例如：\[\lim_{x\to 0}x^2=0, \quad \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty\]
\[\lim_{x\to 0}x=0,\quad \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty,\quad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty\]
4，无穷小的阶。无穷小之间可以比较它们趋于 \(0\) 的快慢，这就是无穷小的阶的概念。
定义：设 \(\lim_{x\to a}\alpha=0,\lim_{x\to a}\beta=0\)，若
- \(\lim_{x\to a}\frac{\alpha}{\beta}=0\)，我们称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的高阶无穷小，\(\beta\) 是 \(\alpha\) 的低阶无穷小，记为 \(\alpha=o(\beta)\)（小写字母 o）;
- \(\lim_{x\to a}\frac{\alpha}{\beta}=K\)，\(K\) 为一不等于 \(0\) 的常数，我们称 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 是同阶无穷小，记为 \(\alpha=O(\beta)\)（大写字母 O）;
- \(\lim_{x\to a}\frac{\alpha}{\beta}=1\)，我们称 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 是等价无穷小，记为 \(\alpha\sim\beta)\);
等价无穷小可以用来简化极限的计算，还有一些理论上的应用。但事实上我们一般不太用等价无穷来计算极限，因为等价无穷小一般是用别的极限计算方法得来的。而且一般能用等价无穷小的地方，都可以用其它方法来计算极限。
我们列举一下常用的等价无穷小。
当 \(x\to0\)时，\[x\sim \sin x, \quad x\sim\tan x,\quad x\sim e^x-1,\quad x\sim \ln(1+x)\]