这里我们给出极限的严格数学定义。这个定义比较难以理解，当然不理解它的话，也不影响后续内容的学习。我们这里用浅显的语言来解释极限的严格定义，希望能够帮助同学们理解这一相当抽象的概念。
我们先来叙述一下函数与数列的极限的严格定义。
1，函数极限的严格定义：\(\lim_{x\to a}f(x)=A\) 是指：对任何的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得对任何的满足 \(0<|x-a|<\delta\) 的 \(x\)，\(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。
2，数列的极限的严格定义：\(\lim_{n\to\infty}x_n=A\) 是指：对任何的 \(\epsilon>0\)，存在 \(N>0\)，使得对所有的 \(n>N\) ，\(|x_n-A|<\epsilon\) 成立。
3，定义的理解：这两个定义，光是把读通顺，都不是一件容易的事，更不用说理解了。事实上，这个严格的定义只是把我们以前的直观定义用严格的数学语言重新叙述一遍而已。
我们回顾一下极限的直观定义：当 \(x\) 越来越接近于 \(a\)时， \(f(x)\) 无限接近于 \(A\)。那么问题是，什么是“越来越接近”，什么是“无限接近”？这些语言在数学上是不严格的，或者是逻辑不清晰的。我们需要给它一个逻辑严密、意义确定无误的定义。
首先我们严格定义什么是“无限接近”，无限接近，应该就是它们的距离可以“无限”的小；“无限”小，那么就是不管你给出多么小的数字，都可以比你给出的这个数字小。也就是说，对任意给出的一个很小的数字，我们都可以做到比这个数字更小。又因为距离只可能为正数，所以叙述出来就是：对任意给定的大于 \(0\) 的正数 \(\epsilon\)，\(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。紧凑的说法就是：对任意 \(\epsilon>0\)，\(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。
其次来严格定义 “越来越接近”，直观上的理解就是就是当 \(x\) 充分接近于 \(a\) 时。那么“充分接近”就是接近到一定程度就行，而接近于“一定”程度，就是只要它们之间的距离小于某一个数，这个数我们记为 \(\delta\)，这个数要存在，若不存在，就意味着没有 \(x\) 能满足“越来越接近”这个条件。所以严格叙述起来就是：存在一个正数 \(\delta\)，当 \(|x-a|<\delta\) 时。因为极限是越来越接近，它可以不等于 \(a\)，所以 \(|x-a|>0\)。全部加在一起，就是这样说：存在一个正数 \(\delta\)，使得当 \(0<|x-a|<\delta\)时，……
我们把这两部分联合一起，就是：对任何大于 \(0\) 的 \(\epsilon\)，存在一个大于 \(0\) 的数 \(\delta\)，使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 时，不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。 我们就称 \(\lim_{x\to a}f(x)=A\)。
4，用定义证明极限。关于极限的严格定义，还有一个难点就是用定义证明极限。在极限的定义里，\(\epsilon\) 是任意的数，给定的，所以不需要我们做什么。极限的定义里，极限的存在性实际上等于 \(\delta\) 的存在性，也就是说，我们只要证明或者找到了满足这样条件的 \(\delta\)，那么极限就存在了。
要找 \(\delta\)，基本的方法就是从不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 出发，将它变形，成为另一个不等式 \(|x-a|<B\)，那么这个 \(B\) 就是我们要找的 \(\delta\)。要记得，变形后得到的不等式，左边一定是 \(|x-a|\)，否则就不是我们想要的。
我们来看两个如何用定义证明极限或者求极限的例题。
例1：证明 \(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\)。
分析：我们要证明这个极限，就是从不等式 \(\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon\) 出发，把它变形成为一个关于 \(|x-1|\) 的不等式，那么就找到了 \(\delta\)。我们来看解答过程。
解：对任何的 \(\epsilon>0\)，我们对不等式 \(\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon\) 变形，
\[\begin{align*}\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon & \Longrightarrow\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}-2\right|<\epsilon \\& \Longrightarrow |(x+1)-2|<\epsilon\\& \Longrightarrow |x-1|<\epsilon\end{align*}\]
我们已经得到了关于 \(|x-1|\) 的不等式 \(|x-1|<\epsilon\)，所以只要取 \(\delta=\epsilon\)，就行。也就是说，只要 \(0<|x-1|<\delta\)，则 \(|\frac{x^2-1}{x-1}-2|<\epsilon\) 成立。
例2：证明 \(\lim_{x\to 8}\sqrt{x+1}=3\)。
解：这个可能稍微麻烦些。对任何 \(\epsilon>0\)，我们对不等式 \(|\sqrt{x+1}-3|<\epsilon\) 变形，
\[\begin{align*}|\sqrt{x+1}-3|<\epsilon&\Longrightarrow \left|\frac{(\sqrt{x+1}-3)((\sqrt{x+1}+3)}{(\sqrt{x+1}+3}\right|<\epsilon\\ &\Longrightarrow \left|\frac{x-8}{(\sqrt{x+1}+3}\right|<\epsilon\\&\Longrightarrow |x-8|<|(\sqrt{x+1}+3|\epsilon\end{align*}\]
现在我们看到，虽然左边已经是 \(|x-8|\)，但是不等式右边有 \(x\)，这个需要处理一下。因为 \(x\to 8\)，也就是说 \(x\) 很接近 \(8\)，我们不妨设 \(7<x<9\)，那么 \(\sqrt{8}+3<|\sqrt{x+1}+3|<\sqrt{10}+3\)，所以只要 \(|x-8|<(\sqrt{8}+3)\epsilon\)，自然 \(|x-8|<(\sqrt{x+1}+3)\epsilon\)，从而 \(|\sqrt{x+1}-3|<\epsilon\)。
所以只要取 \(\delta=(\sqrt{8}+3)\epsilon\)，则当 \(|x-8|<\delta\) 时，\(|\sqrt{x+1}-3|<\epsilon\) 成立。所以 \(\lim_{x\to 8}\sqrt{x+1}=3\)。