我们复习向量的定义以及它们最重要的运算：点积与叉积。并且给出它们最重要的性质：两向量垂直等价于它们的点积为\(0\)，两向量平行等价于它们的叉积为 \(0\)。
1，向量：既有大小又有方向的量称为向量。我们一般用带箭头的字母表示 \(\vec{a},\vec{b},\cdots\)，等等。在图形上用有方向的线段表示。在坐标系下，向量可以用它的坐标表示 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)。
2，向量的点积（内积，数量积）：两向量的点积定义为\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]\(\theta \) 为两个向量的夹角，\(0\le \theta\le\pi\)。
两向量的点积是一个数量，所以也称为数量积。
在坐标系下 \[\vec{a}\cdot\vec{b}=(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]
3，两向量垂直的充分必要条件： \(\vec{a}\bot\vec{b}\) \(\Longrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。
4，向量的叉积（向量积、外积）：两向量 \(\vec{a},\vec{b}\) 的叉积 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 定义为
- \(|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)；
- \(\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{a},\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{b}\)，且 \(\vec{a},\vec{b},\vec{a}\times\vec{b}\) 成右手系。
坐标系下，叉积的计算式为
\[\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}\]
5，两向量平行的充分必要条件：\(\vec{a}\parallel\vec{b}\Longrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=0\)。
6，向量的投影：向量 \(\vec{v}\) 在向量 \(\vec{u}\) 上的投影为 \[\text{Proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|^2}\vec{u}\]
7，夹角与夹角的余弦：从点积的定义，可以得到两向量夹角的余弦
\[\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\]