1，极值的求法：
（1）先求出一阶导数为零的点：\(f_x(x,y)=0, f_y(x,y)=0\) 求出临界点 \((x_0,y_0)\)；
（2）若 \(f_{xx}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)>0\) \(\Rightarrow\) \((x_0, y_0)\) 是极值点，
（a）\(f_{xx}(x_0,y_0)<0\)，则 \((x_0,y_0)\) 是极大值点，\(f(x_0,y_0)\) 是极大值；
（b）\(f_{xx}(x_0,y_0)>0\)，则 \((x_0,y_0)\) 是极小值点，\(f(x_0,y_0)\) 是极小值。
（3）若 \(f_{xx}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)<0\) \(\Rightarrow\) \((x_0, y_0)\) 不是极值点，称为鞍点；
（4）若 \(f_{xx}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)=0\) \(\Rightarrow\) \((x_0, y_0)\) 不知道是不是极值点。
例1，求 \(z=f(x,y)=\ln (x+y)+x^2-y^2\) 的极值。
解：（1）\(\displaystyle f_x=\frac{1}{x+y}+2x, f_y=\frac{1}{x+y}-1\)，令它们都等于 \(0\)，
\[f_x=\frac{1}{x+y}+2x=0,\quad f_y=\frac{1}{x+y}-1=0\]
第二个方程给出
\[\frac{1}{x+y}-1=\frac{1-x-y}{x+y}=0\Rightarrow x+y=1\]
代入第一个方程，
\[\frac{1}{x+y}+2x=\frac{1+2x(x+y)}{x+y}=\frac{1+2x}{x+y}=0\]
得到 \(x=-\frac{1}{2}\)，再由关系 \(x+y=1\)，得到 \(y=\frac{3}{2}\)。所以临界点为 \((-\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)。
（2）\(\displaystyle f_{xx}=-\frac{1}{(x+y)^2}+2\)，\(\displaystyle f_{x,y}=-\frac{1}{(x+y)^2}\)，\(\displaystyle f_{yy}=-\frac{1}{(x+y)^2}\)，所以
\[f_{xx}(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})=1, \quad f_{xy}(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})=-1, f_{yy}(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})=-1\]
所以 \[f_{xx}\cdot f_{yy}-f^2_{xy}=-2<0\]
所以 \((-\frac{1}{2},\frac{3}{2})\) 不是极值点，是鞍点。
例2，设 \(f(x,y)=x^3+3xy+y^3\)，求它的极值。
解：（1）\(f_x=3x^2+3y, f_y=3x+3y^2\)，令它们都等于 \(0\)，得到 \(x=-y^2, y=-x^2\)，得到临界点 \((-1,-1), (0,0)\)。
（2）\(f_{xx}=6x, f_{yy}=6y, f_{x,y}=3\)，所以
\[f_{xx}(-1,-1)\cdot f_{yy}(-1,-1)-f^2_{xy}(-1,-1)=(-6)\cdot(-6)-3^2=27>0\]
所以 \((-1,-1)\) 是极值点，因为 \(f_{xx}(-1,-1)=-6<0\)，所以\((-1,-1)\) 是极大值点，极大值为 \(f(-1,-1)=1\)。
\[f_{xx}(0,0)\cdot f_{yy}(0,0)-f^2_{xy}(0,0)=0-3^2=-9<0\]
所以 \((0,0)\) 不是极值点，它是鞍点。
2，条件极值：函数 \(f(x,y,z)\) 在限制条件 \(g(x,y,z)\) 下的条件极值的求法为：解方程
\[\nabla f=\lambda \nabla g\]
即求解方程组
\[\begin{cases}f_x=\lambda g_x\\ f_y=\lambda g_y\\ f_z=\lambda g_z\end{cases}\]
求出的解，再代入到函数中去，最大的为最大值，最小的为最小值。对于二元函数或者其它个数变元的函数同样的处理。
例3，求函数 \(f(x,y,z)=xyz\) 在限制条件 \(x^2+y^2+z^2=1\) 下的条件极值。
解：\(g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\)，所以 \(\nabla f=\lambda \nabla g\) 为方程组
\[\begin{cases}yz=2\lambda x\\ xz=2\lambda y\\ xy=2\lambda z\end{cases}\]
将第一个方程除以第二个方程得到 \(\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\)，从而得到 \(y=\pm x\)；将第二个方程除以第三个方程得到 \(\frac{z}{y}=\frac{y}{z}\)，从而得到 \(z=\pm y\)。
将这两个等式代入到 \(g(x)\)，得到 \(3x^2=1\)，也就是 \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)。所以
\[x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\quad y=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad z=\frac{1}{\sqrt{3}}\]
这里有 \(8\) 个点。由对称性，我们有
\begin{align*}f(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})&=f(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\\ &=f(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=f(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=\frac{1}{3\sqrt{3}}\end{align*}
是最大值；
\begin{align*}f(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})&=f(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=f(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=f(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=-\frac{1}{3\sqrt{3}}\end{align*}是最小值。