多元函数的极限与连续与一元函数的定义类似。我们需要注意的是，多元函数的极限，它的意义是沿任意的路径趋于某一点，极限都应该一致。所以求多元函数的极限，方法并不太多，但是要证明极限不存在，只需要找两个不同的方向，得到不同的极限即可。
1，极限：多元函数的极限
\[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=A\]
是指点 \((x,y)\) 沿任意方向趋近于 \((a,b)\) 时，极限为 \(A\)。所以如果要证明极限不存在，就只需要找到两个不同的方向，它们的极限不一样。而若要证明极限存在，一般只能应用极限的定义（\(\epsilon-\delta\) 语言）或者化成一元函数的极限来求。
例1，证明极限 \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+2y^2}\) 不存在。
解：令 \((x,y)\) 沿 \(y=x\) 方向趋近于 \((0,0)\)，则
\[\lim_{{(x,y)\to (0,0)}\atop{y=x}}\frac{xy}{x^2+2y^2}=\lim_{{x\to 0}\atop{y=x}}\frac{x^2}{x^2+2x^2}=\frac{1}{3}\]
令 \((x,y)\) 沿 \(y=0\) 方向趋近于 \((0,0)\)，则
\[\lim_{{(x,y)\to (0,0)}\atop{y=0}}\frac{xy}{x^2+2y^2}=0\]
所以两个方向上的极限不相等，所以极限不存在。
例2，求极限 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{5xy}\)。
解：令 \(u=xy\)，则
\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{5xy}=\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{5u}=\frac{1}{5}\]
例3，证明极限 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\) 存在。
证明：因为
\[\left|\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\right|\le \left|\frac{x^2y^2}{x^2}\right|=y^2\to 0\]
所以由夹挤原理，\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0\)
2，连续：若 \[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)\]
我们称函数 \(f(x,y)\) 在点 \((a,b)\) 连续。
3，偏导数：设 \(z=f(x,y)\)，则它在点 \((a,b)\) 处对 \(x\) 的偏导数定义为
\[\frac{\partial z}{\partial x}(a,b)=\lim_{x\to a}\frac{f(x,b)-f(a,b)}{x-a}\]
在点 \((a,b)\) 处对 \(y\) 的偏导数定义为
\[\frac{\partial z}{\partial y}(a,b)=\lim_{y\to b}\frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b}\]
在任意点 \((x,y)\) 处的偏导数定义为
\[\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\]
\[\frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}\]
从定义可以知道，求一个自变量的偏导数，就把其它的自变量都看成常数，应用一元函数的求导法则与求导公式来求。
例4，设 \(z=e^{x^2+y^2}\sin(xy)\)，求 \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\)。
解：\begin{align*}\frac{\partial z}{\partial x}&=2xe^{x^2+y^2}\sin(xy)+ye^{x^2+y^2}\cos(xy)\end{align*}
\begin{align*}\frac{\partial z}{\partial y}&=2ye^{x^2+y^2}\sin(xy)+xe^{x^2+y^2}\cos(xy)\end{align*}
4，高阶偏导数：对一阶偏导数再求偏导数就是二阶偏导数，依此类推。
注意，一阶偏导数本身还是多元函数，所以每一个一阶偏导数还会有好几个偏导数。所以，二元函数有四个二阶偏导数，三元函数有九个二阶偏导数。
设 \(z=f(x,y)\)，则它的一阶偏导数为
\[\frac{\partial z}{\partial x},\quad \frac{\partial z}{\partial y}\]
它的二阶偏导数为
\[\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{xx},\quad\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{xy}\]
\[\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{yx},\quad\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{yy}\]
对于混合偏导数，我们有如下 的定理。
定理：若 \(f_{xy},f_{yx}\) 都连续，则它们相等。
由这个定理，我们就可以知道，一般情况下，二元函数的二阶偏导数只有三个。三元函数的二阶偏导数有六个。