我们复习平面和直线的方程。平面和直线的方程都是通过向量的点积与叉积的性质推导出来的。
1，平面的方程：设平面过一点 \(P(x_0,y_0,z_0)\)，它的法向量为 \(\vec{n}=(A,B,C)\)，设 \(Q=(x,y,z)\) 是平面上任何一点，则向量 \(\vec{PQ}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\) 与法向量垂直 ，\(\vec{PQ}\perp \vec{n}\)，
\begin{align*}&\vec{n}\perp(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\\ \Rightarrow &(A,B,C)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0\\ \Rightarrow &A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\\ \Rightarrow& Ax+By+Cz=D\end{align*}
一些结论：（1）两平面平行 \(\Rightarrow\quad (A_1,B_1,C_1)=\lambda(A_2,B_2,C_2)\)；
（2）两平面垂直：\(\Rightarrow\quad (A_1,B_1,C_1)\cdot(A_2,B_2,C_2)=0\)；
（3）两平面的夹角的余弦为：\(\displaystyle\cos\theta=\frac{(A_1,B_1,C_1)\cdot(A_2,B_2,C_2)}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\)
2，空间直线的方程：设空间直线 \(L\) 过点 \((x_0,y_0,z_0)\)，它的方向向量为 \(\vec{s}=(a,b,c)\)，则这条直线的方程为
\[(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)=t\vec{s}\]
也就是\[(x_x_0,y-y_0,z-z_0)=t(a,b,c)\]这就是直线的点向式方程。写成分量的形式，
\begin{cases}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{cases}
这是直线的参数式方程。在这里消去参数 \(t\)，则得到
\[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\]
这个称为直线的对称式方程。