方向导数、梯度、切平面与法线

我们给出方程导数和梯度的定义与计算方法。然后通过隐函数方程导出曲面的切平面和法线的方程。

1，梯度：二维函数 $\mathrm{\nabla }f=(f_x,f_y)=f_x\cdot \overrightarrow{i}+f_y\cdot \overrightarrow{j}$

三维函数 $\mathrm{\nabla }f=f=(f_x,f_y,f_z)=f_x\cdot \overrightarrow{i}+f_y\cdot \overrightarrow{j}+f_z\cdot \overrightarrow{k}$

梯度是一个向量。

2，方向导数：函数在方向 $\overrightarrow{u},|\overrightarrow{u}|=1$ 的方向导数定义为

$$D_{\overrightarrow{u}}=\frac{df}{d\overrightarrow{u}}=\mathrm{\nabla }f\cdot \overrightarrow{u}$$

这里 $\overrightarrow{u}$ 必须是单位向量。如果不是单位向量，需要先化成单位向量之后，再根据上面的公式计算。

在坐标表示下，$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$，二维函数的方向导数为

$$\frac{df}{d\overrightarrow{u}}=f_x\cdot u_1+f_y\cdot u_2$$

三维情形下，$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$，方向导数为

$$\frac{df}{d\overrightarrow{u}}=f_x\cdot u_1+f_y\cdot u_2+f_z\cdot u_3$$

3，切平面：

（1）曲面由方程 $F(x,y,z)=0$ 给出，它在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程为

$$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$

法线为 $$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$$

（2）曲面由函数 $z=f(x,y)$ 给出，它在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程为

$$f_x\cdot (x-x_0)+f_y\cdot (y-y_0)-(z-z_0)=0$$

法线为$$\frac{x-x_0}{f_x}=\frac{y-y_0}{f_y}=\frac{z-z_0}{-1}$$

例1，设 $f(x,y)=\sqrt{x-y}$，求 $f(x,y)$ 在点 $(5,1)$ 处沿向量 $\overrightarrow{v}=(12,5)$ 的方向的方向导数。

解：我们先将向量单位化，

$$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}=\frac{1}{\sqrt{{12}^2+5^2}}(12,5)=(\frac{12}{13},\frac{5}{13})$$

函数的梯度为 $\mathrm{\nabla }f=(f_x,f_y)=(\frac{1}{2\sqrt{x-y}},-\frac{1}{\sqrt{x-y}})$，在点 $(5,1)$ 处 $\mathrm{\nabla }f(5,1)=(\frac{1}{4}-\frac{1}{4})$

所以在点 $(5,1)$ 处沿向量 $\overrightarrow{v}=(12,5)$ 的方向的方向导数为

$$\begin{array}{rl}{D}_{\overrightarrow{u}}f& =\mathrm{\nabla }f\cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{4}\cdot \frac{12}{13}-\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{13}\\ & =\frac{7}{52}\end{array}$$

例2，设 $f(x,y,z)=z^3-x^{2}y$，求 $f(x,y,z)$ 在点 $(1,6,2)$ 沿向量 $\overrightarrow{v}=(3,4,12)$ 方向的方向导数。

解：先将向量单位化

$$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}=(\frac{3}{13},\frac{4}{13},\frac{12}{13})$$

函数的梯度为 $$\mathrm{\nabla }f=(-2xy,-x^2,3z^2)$$

在点 $(1,6,2)$ 处的值为 $\mathrm{\nabla }f(1,6,2)=(-12,-1,12)$，所以

$$D_{\overrightarrow{u}}f=-12\cdot \frac{3}{13}-\frac{4}{13}+12\cdot \frac{12}{13}=\frac{104}{13}=8$$

例3，设曲面由方程 $x{e}^{yz}=1$ 给出，求曲面在 $(1,0,5)$ 处的切平面与法线。

解：因为

$$F_x=e^{yz},F_y=xz{e}^{yz},F_z=xy{e}^{yz},\mathrm{\nabla }F(1,0,5)=(1,5,0)$$

所以切平面方程为

$$(x-1)+5y=0⟹x+5y=1$$

法线方程为

$$\frac{x-1}{1}=\frac{y}{5}=\frac{z-5}{0}$$

4，梯度方向是函数增长最快的方向，梯度的反方向是函数减少最快的方向。或者说，方向导数的最大值在梯度方向，方向导数的最小值在梯度负方向。