对于圆形或者环形积分区域，利用极坐标来计算二重积分会使得计算变得更简便，这是因为积分的上、下限都会变成常数。
1，极坐标：\((r,\theta)\) 表示平面上的一点，其中 \(r\) 是点到原点的距离，\(\theta\) 是点到原点的连线与 \(ox\) 轴正向的夹角。极坐标与直角坐标之间的关系为
\[\begin{cases}x=r\cos \theta\\ y=r\sin \theta\end{cases},\qquad\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\arctan\frac{y}{x},&y>0\\ \theta=\arctan\frac{y}{x}+\pi,&y<0\end{cases}\]
2，极坐标下面积元与积分表达式：在极坐标下，面积元为
\begin{align*}&dA=dxdy=rdrd\theta,\\ &\iint_Df(x,y)dA=\iint_Df(r\cos\theta,r\sin \theta)rdrd\theta\end{align*}
3，化成二次积分：若区域为 \(D=\{(r,\theta)|\theta_1\le\theta\le\theta_2, r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\}\)，
则积分为
\[\iint_Df(x,y)dA=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]
4，几种特殊情况：
（1）原点在 \(D\) 的边界上，\(D+\{\theta_1\le\theta\le \theta_2, 0\le r\le r(\theta)\}\)：
则积分为
\[\iint_Df(x,y)dA=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_0^{r(theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]
（2）原点在 \(D\) 的内部，
则 \(D=\{(r,\theta)|0\le\theta\le 2\pi, 0\le r\le r(\theta)\}\)，
\[\iint_Df(x,y)dA=\int_0^{2\pi}\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]
（3）原点在复连通区域内部曲线的内部，
则 \(D=\{(r,\theta)|0\le\theta\le 2\pi, r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\}\)，
\[\iint_Df(x,y)dA=\int_0^{2\pi}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]
例1，求积分 \(\displaystyle\iint_D(3x+4y^2)dA\)，其中 \(D\) 是圆环 \(1\le x^2+y^2\le 4\) 在上半平面的部分。
解：积分区域如图，
曲线 \(x^2+y^2=1\) 在极坐标下是 \(r=1\)，\(x^2+y^2=4\) 在极坐标下是 \(r=2\)，所以积分区域 \(D=\{(r,\theta)|0\le \pi, 1\le r\le 2\}\)，
\begin{align*}\iint_D(3x+4y^2)dA&=\int_0^{\pi}\int_1^2(3r\cos\theta+4r^2\sin^2\theta)rdrd\theta\\ &=\int_0^{\pi}(r^3\cos\theta+r^4\sin^2\theta)\Big|_1^2d\theta\\ &=\int_0^{\pi}(7\cos\theta+15\sin^2\theta)d\theta\\ &=\int_0^{\pi}(7\cos\theta+\frac{15}{2}(1-\cos2\theta))d\theta\\ &=7\sin\theta+\frac{15}{2}(1-\frac{1}{2}\sin2\theta)\Big|_0^{\pi}\\ &=\frac{15\pi}{2}\end{align*}
例2，求在 \(z=0\) 平面上方，在曲面 \(z=1-x^2-y^2\) 下方所围成的立体的体积。
解：曲面在 \(z=0\) 平面的投影为圆 \(D:x^2+y^2\le 1\)，所以 \(D=\{(r,\theta)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le r\le 1\}\)，
\begin{align*}V&=\iint_D(1-x^2-y^2)dA=\int_0^{2\pi}\int_0^1(1-r^2)rdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}(\frac{r^2}{2}-\frac{1}{4}r^4)\Big|_0^1d\theta=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi}d\theta\\ &=\frac{\theta}{4}\Big|_0^{2\pi}=\frac{pi}{2}\end{align*}
例3，求积分 \(\displaystyle\iint_DdA\)，其中 \(D\) 是在 \(y=1\) 的上方，\(y=\sqrt{3}x\) 的下方，在 \(x^2+y^2=4\) 的内部的部分。
解：积分的区域如图，
若使用极坐标，则 \(y=1\) 在极坐标下的表达式为
\[r=1\quad\Rightarrow\quad r\sin\theta=1\Rightarrow\quad r=\frac{1}{\sin\theta}=\csc \theta\]
而 \(y=1\) 与 \(x^2+y^2=4\) 的交点为 \((\sqrt3,1)\)，它与原点的连线与 \(x\) 轴的夹角为 \(\frac{\pi}{6}\)，直线 \(y=\sqrt3x\) 与 \(x\) 轴的夹角为 \(\frac{\pi}{6}\)，所以
\[D=\{(r,\theta)|\frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{3}, \csc\theta\le r\le 2\}\]
积分为
\begin{align*}\iint_DdA&=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{\csc\theta}^2rdrd\theta=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{r^2}{2}\Big|_{\csc\theta}^2d\theta\\ &=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(2-\frac{1}{2}\csc^2\theta)d\theta=2\theta+\frac{1}{2}\cot\theta\Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\\ &=\frac{1}{3}(\pi-\sqrt{3})\end{align*}