1，点到平面的距离：平面外一点 \(P=(x,y,z)\) 到平面的距离，如果已知平面过点 \(Q=(x_0,y_0,z_0)\)，那么可以作向量 \(\vec{PQ}\)，此向量在平面法向量上投影的长度就是 \(P=(x,y,z)\) 到平面的距离 。
\begin{align*}d&=|\overrightarrow{RP}|=|\text{Proj}_{\vec{n}}\overrightarrow{QP}|\\&=|\overrightarrow{QP}|\cdot|\cos\theta|=|\overrightarrow{QP}|\cdot \frac{|\overrightarrow{QP}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \\ &=\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\end{align*}
在坐标表示下，若平面的方程为\(Ax+By+Cz=D\)，则
\begin{align*}d&=\frac{|\overrightarrow{RP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|\overrightarrow{RP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\\ &=\frac{ |(x_1-x_0, y_1-y_0,z_1-z_0) \cdot(A,B,C)|}{\sqrt{A^2+b^2+C^2}}\\ &=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1-(Ax_0+By_0+Cz_0)|}{\sqrt{A^2+b^2+C^2}}\\ &=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1-D|}{\sqrt{A^2+b^2+C^2}}\end{align*}
结论是
\[d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1-D|}{\sqrt{A^2+b^2+C^2}}\]
或者
\[d=\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\]
2，点到直线的距离：直线外一点 \(P=(x,y,z)\) 到直线的距离，如果已知直线过点 \(Q=(x_0,y_0,z_0)\)，作向量 \(\vec{PQ}\)，
可以看到
\begin{align*}d&=|RP|=|\overrightarrow{QP}|\cdot|\sin\theta|\\ &=|\overrightarrow{QP}|\cdot\frac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{s}|}{|\overrightarrow{QP}|\cdot|\vec{s}|}\\ &=\frac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}\\ &=\frac{|\overrightarrow{QP}\times (a,b,c)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{align*}
所以 \(P=(x,y,z)\) 到直线的距离为
\[d=\frac{|\overrightarrow{QP}\times (a,b,c)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]