向量的内积

向量的内积也叫向量的数量积、点积。我们定义两个向量的内积是一个数： $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$ 其中 $θ$ 是这两个向量的夹角。

对于向量的内积，最重要的一个结论是：

定理1：两向量垂直的充分必要条件是它们的内积为 $0$ ，即 $\vec{a} ⊥ \vec{b} ⟺ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

这个定理我们几乎不用证明了，因为从定义来看，如果两个向量都不零向量，则只能是夹角 $θ = \frac{π}{2}$ 。而零向量的方向是任意的，零向量与任垂直何向量都垂直。

坐标下的内积：如果 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

这个式子我们可以看成内积的定义，当然也可以从内积的几何定义计算得到。

两向量的夹角余弦： $\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$

求出夹角的余弦，我们就可以通过反余弦函数求出两个向量的夹角。

内积的运算法则：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ ;
$\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} |^{2}$ ;
$(λ \vec{a}) \cdot \vec{b} = λ (\vec{a} \cdot \vec{b})$ ;
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ 。

我们来看两个简单的例题。

例1：证明向量 $\vec{a} = (2, 2, - 1)$ 和 $\vec{b} = (5, - 4, 2)$ 相互垂直。

解：因为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2, 2, - 1) \cdot (5, - 4, 2) = 10 - 8 - 2 = 0$ 由两向量垂直的充分必要条件，我们知道这两个向量相互垂直。

例2：计算两向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角。 $(1) \vec{a} = (3, - 1, 5), \vec{b} = (- 2, 4, 3) (2) \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} - 2 \vec{k}, \vec{b} = 4 \vec{i} - 3 \vec{k}$

解：（1）由夹角的余弦的计算公式，我们有 $\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | e \vec{b} |} = \frac{- 6 - 4 + 15}{\sqrt{9 + 1 + 25} \cdot \sqrt{4 + 16 + 9}} = \frac{5}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29}}$ 所以夹角为 $θ = \cos^{- 1} \frac{5}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29}} = \arccos \frac{5}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29}}$

（2）由夹角的余弦的计算公式， $\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | e \vec{b} |} = \frac{4 + 6}{\sqrt{1 + 4 + 4} \cdot \sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ 所以夹角为 $θ = \cos^{- 1} \frac{2}{3} = \arccos \frac{2}{3}$

例3：计算 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影，其中 $\vec{a} = (4, - 3, 4), \vec{b} = (2, 2, 1)$ 。

解：由投影的公式 ${Proj}_{\vec{a}} \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} |^{2}} \vec{a} = \frac{8 - 6 + 4}{16 + 9 + 16} (4, - 3, 4) = \frac{4}{41} (4, - 3, 4) = (\frac{16}{41}, - \frac{12}{41}, \frac{16}{41})$