拉格朗日条件极值

我们前面所求的极值，是无条件的极值。但是实际问题中，经常用到在一定条件下的极值问题。例如，如何在有限的材料中建造体积最大的容器；如何在有限的预算下将生产的产品价值最大化，等等。这就是我们的条件极值问题。

我们来解这样的问题，求函数 $z=f(x,y)$ 在限制条件 $\varphi (x,y)=0$ 下的极值问题。我们来看看 $f$ 和 $\varphi$ 应该满足什么样的条件。

1，条件极值的求法：我们知道 $\varphi (x,y)=0$ 一般可以确定一个隐函数 $y=y(x)$，若 $\varphi (x,y$ 可微而且 $\frac{\partial \varphi }{\partial y}\ne 0$。

我们设 $(x_0,y_0)$ 是极值，则 $\frac{dz}{dx}{|}_{(x_0,y_0)}=0$。因为

$$\frac{dz}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot (-\frac{{\varphi }_x}{{\varphi }_y})=0$$所以

$$f_x=f_y\cdot \frac{{\varphi }_x}{{\varphi }_y}⟹\frac{f_x}{{\varphi }_x}=\frac{f_y}{{\varphi }_y}=\lambda$$

最后一个等式是因为是四个量都是函数，两边相等，只能是常数。上式意味着 $$\{\begin{array}{l}{f}_x=\lambda {\varphi }_x\\ f_y=\lambda {\varphi }_y\end{array}$$

更一般的，我们有下列等式$$\mathrm{\nabla }f=\lambda \mathrm{\nabla }\varphi$$这个等式对于一般的多元函数成立，而不光是二元函数。

这个条件只是给出了条件极值可能的点。用这个等式求出来的是不是极值，我们需要代入函数值，以及端点处的值来确定。所有这些点处的值，最大的为最大值，最小的为最小值。

我们来看两个例子。

例1：用 $12c{m}^2$ 的纸壳制作一个无盖的长方体盒子问长、宽、高各为多少，体积最大？

解：如果设长、宽、高各为 $x,y,z$，则我们有如下的等式：

$$V=xyz,\varphi (x,y,z)=xy+2yz+2xz-12=0$$

由题意，我们求的是 $V$ 的最大值，限制条件是第二个等式（表面积固定）。由条件极值的条件，我们有 $\mathrm{\nabla }V=\lambda \mathrm{\nabla }\varphi$，也就是

$$\{\begin{array}{l}{V}_x=\lambda {\varphi }_x\\ V_y=\lambda {\varphi }_y\\ V_z=\lambda {\varphi }_z\end{array}⟹\{\begin{array}{l}yz=\lambda (y+2z)\\ xz=\lambda (x+2z)\\ xy=\lambda (2\lambda (x+y))\end{array}$$

三个方程分别乘以 $x,y,z$， 我们得到了

$$\{\begin{array}{l}xyz=\lambda (xy+2xz)\\ xyz=\lambda (xy+2yz)\\ xyz=\lambda (2\lambda (xz+yz))\end{array}$$

用第一个方程除以第二个方程，我们得到 $2xz=2yz$，我们得到 $x=y$ 或者 $z=0$; 用第二个方程减去第三个方程，我们得到 $y=2z$ 或者 $x=0$。

不管是 $x=0$ 还是 $z=0$，体积都是 $0$，肯定是最小值。 所以我们得到 $x=y=2z$，代入到限制条件 $xy+2yz+2xz-12=0$，也就是

$$4z^2+4z^2+4z^2-12=0⟹z=1$$所以 $x=2,y=2,z=1$ 而体积 $$v=4$$ 为最大值。

我们来看一个需要考虑边界的例子。例 1 其实也默认考虑了边界，只是在边界上体积为 0，那就是 $x,y,z$ 有一个变量取到最大值，那么其它两个变量只能取 $0$，从而体积为 $0$。

例2：求函数 $z=x^2+2y^2$ 在圆 $x^2+y^2\le 1$ 内的最大、最小值。

我们需要先求在圆内的无条件极值。因为我们看到的是一个区域，这个区域的表达式是一个不等式，它不是一个等式。

（1）区域内的极值。$f_x=2x,f_y=4y$，令它们等于 $0$，我们得到一个临界点 $(0,0)$。又因为 $f_{xx}=2,f_{yy}=4,f_{xy}=0$，所以 $f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2=8>0$，所以 $f(0,0)=0$ 是极小值。

（2）在边界上， $(x,y)$ 满足限制条件 $x^2+y^2=1$。所以求的是条件极值。

$$\{\begin{array}{l}{f}_x=\lambda {\varphi }_x\\ f_y=\lambda {\varphi }_y\\ x^2+y^2=1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x=\lambda (2x)\\ 4y=\lambda (2y)\\ x^2+y^2=1\end{array}$$

由第一个方程，我们得到 $x=0$ 或者 $\lambda =1$。

若 $x=0$，则 $y=\pm 1$；若 $\lambda =1$，则 $y=0,x=\pm 1$。所以我们得到四个点 $(0,1)$， $(0,-1)$，$(1,0)$ 和 $(-1,0)$。

$f(0,1)=2,f(0,-1)=2,f(1,0)=1,f(-1,0)=1$， 而 $f(0,0)=0$。所以圆内的最大值为 $f(0,1)=f(0,-1)=4$，最小值 为$f(0,0)=0$。