应用格林公式求曲线积分

我们之前证明了格林公式：闭曲线上的曲线积分可以用二重积分来计算，反之亦然。现在我们来应用这个定理来求曲线积分。

我们首先回顾一下格林公式。

1，格林公式：设 $L$ 是分段光滑的闭曲线，其围成部分为平面上的单连通区域 $D$ ，若 $P (x, y), Q (x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有 $\oint_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$

2，应用格林公式求曲线积分，我们分三种情况来讨论。

（1） $L$ 是闭曲线，且 $P (x, y), Q (x, y)$ 在 $D$ 内一阶连续可导 $\Rightarrow$ 直接应用格林公式；

（2） $L$ 是闭曲线，且 $P (x, y), Q (x, y)$ 在 $D$ 内有奇点（不连续或者不可导） $\Rightarrow$ 挖去奇点，

这样就是一个复连通区域，我们添加辅助线，将区域变成几个单连通区域之和，然后辅助线上的积分为 $0$ ，

应用格林公式，最后将区域上的二重积分减去里面的闭曲线上的积分，就得到了结果； $\oint_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y - \int_{L_{1}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y$

（3） $L$ 是开曲线：添加辅助线使其成为闭曲线，

然后应用格林公式。 $\oint_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y - \int_{L_{1}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y$

这里 $L_{1}$ 是辅助线。

我们来看一下具体的例子。

例1：计算 $\oint_{L} (e^{x} - y^{3}) d x + (\cos y + x^{3}) d y$ ，其中 $L$ 是圆周 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，逆时针方向。

解：被积函数在整个平面上一阶连续可导，所以在圆内无奇点，可以直接应用格林公式。

$\begin{aligned} \oint_{L} (e^{x} - y^{3}) d x + (\cos y + x^{3}) d y & = \iint_{D} (\frac{\partial}{\partial x} (\cos y + x^{3}) - \frac{\partial}{\partial y} (e^{x} - y^{3})) d x d y \\ = \iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} (3 x^{2} + 3 y^{2}) d x d y \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} 3 r^{2} \cdot r d r d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{3}{4} r^{4} |_{0}^{1} d θ \\ = \frac{3}{4} θ |_{0}^{2 π} = \frac{3 π}{2} \end{aligned}$

例2：计算 $\oint_{L} \frac{- y d x + x d y}{x^{2} + y^{2}}$ ，其中 $L$ 是原点在其内部的任一正向闭曲线。

解：因为被积函数在原点处没有定义，所以原点是被积函数的奇点。我们以原点为心，作一个半径为 $ϵ$ 的圆 $L_{ϵ}$ ，那么被积函数在介于 $L$ 与 $L_{ϵ}$ 之间的区域内是一阶连续可导的。

这里 $L$ 是正向，逆时针， $L_{ϵ}$ 是反向，顺时针。介于这两条曲线之间的区域我们记为 $D$ ，它的边界为 $L + L_{ϵ}$ ，由格林公式，

$\oint_{L} \frac{- y d x + x d y}{x^{2} + y^{2}} + \oint_{L_{ϵ}} \frac{- y d x + x d y}{x^{2} + y^{2}} = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$

因为 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} + y^{2}}, \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 所以 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 \Rightarrow \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = 0$

所以我们得到 $\oint_{L} \frac{- y d x + x d y}{x^{2} + y^{2}} = - \oint_{L_{ϵ}} \frac{- y d x + x d y}{x^{2} + y^{2}}$

因为 $L_{ϵ}$ 可用参数方程表示为 $x = ϵ \cos t, y = ϵ \sin t$ ，顺时针方向，所以 $t$ 是从 $2 π$ 到 $0$ ，

$\begin{aligned} - \oint_{L_{ϵ}} \frac{- y d x + x d y}{x^{2} + y^{2}} & = - \int_{2 π}^{0} (\frac{- ϵ \sin t ϵ (- \sin t) + ϵ \cos t ϵ \cos t}{ϵ^{2}}) d t \\ = \int_{0}^{2 π} \frac{ϵ^{2} \sin^{2} t + ϵ^{2} \cos^{2} t}{ϵ^{2}} d t = \int_{0}^{2 π} d t = 2 π \end{aligned}$

所以 $\oint_{L} \frac{- y d x + x d y}{x^{2} + y^{2}} = 2 π$

例3：计算 $\int_{L} (2 x y^{3} - y^{2} \cos x) d x + (1 - 2 y \sin x + 3 x^{2} y^{2}) d y$ ，其中 $L$ 是抛物线 $2 x = π y^{2}$ 上从点 $(0, 0)$ 到 $(\frac{π}{2}, 1)$ 之间的一段。

解：积分的曲线如图：

如果直接计算，这个积分基本上是求不出来的，但是利用格林公式，计算就变得很简单。但是这个曲线不是闭曲线，我们需要添加辅助线来将它变成闭曲线。

我们看到整个闭曲线的方向是顺时针方向，它是逆向的，所以

$(\int_{L} + \int_{L_{1}} + \int_{L_{2}}) (2 x y^{3} - y^{2} \cos x) d x + (1 - 2 y \sin x + 3 x^{2} y^{2}) d y = - \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$

我们先来计算右边的积分。因为

$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (1 - 2 y \sin x + 3 x^{2} y^{2}) = - 2 y \cos x + 6 x y^{2}, \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (2 x y^{3} - y^{2} \cos x) = 6 x y^{2} - 2 y \cos x$

所以 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0, \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = 0$

那么 $\int_{L} P d x + Q d y = - \int_{L_{1}} P d x + Q d y - \int_{L_{2}} P d x + Q d y$

在 $L_{1}$ 上， $x = \frac{π}{2}, d x = 0$ ， $y$ 从 $1$ 到 $0$ 。所以

$\begin{aligned} - \int_{L_{1}} P d x + Q d y & = - \int_{1}^{0} Q (x, y) d y = - \int_{1}^{0} (1 - 2 y + 3 {(\frac{π}{2})}^{2} y^{2}) d y \\ = \int_{0}^{1} (1 - 2 y + 3 {(\frac{π}{2})}^{2} y^{2}) d y = y - y^{2} + \frac{π^{2}}{4} y^{3} |_{0}^{1} = \frac{π^{2}}{4} \end{aligned}$

在 $L_{2}$ 上， $y = 0, d y = 0$ ， $x$ 从 $\frac{π}{2}$ 到 $0$ 。所以

$- \int_{L_{2}} P d x + Q d y = - \int_{L_{2}} P d x = - \int_{L_{2}} 0 d x = 0$

所以

$\int_{L} (2 x y^{3} - y^{2} \cos x) d x + (1 - 2 y \sin x + 3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{π^{2}}{4}$