如何求递推形式的极限？

所谓递推式，就是形如\[x_{n+1}=f(x_n,x_{n-1},\cdots, x_0)\]的函数或序列。遇到这种形式的极限，很多同学就不知道从哪里下手求极限。

其实，要求得这种形式的极限并不难，难的在于，我们经常忘记了最重要的一步，那就是，证明极限是存在的。

我们来看一个例子：
例：设数列\(\{x_n\}\)满足：
\[ 0< x_0 <1, x_{n+1}=x_n(2-x_n),\]
求\(\lim_{n\to \infty}x_n\)。

这里我们看一下这种极限怎么求。假如我们知道这个序列是有极限的，那么，我们知道，\(n\to \infty\)时，\(x_{n+1}\)和\(x_{n}\)都有同样的极限，我们设这个极限为\(A\)，那么我们只需要求一个关于\(A\)的一个代数方程，就得到了我们要求的极限。

但这里关键的一步是，我们怎么确定这个序列是有极限的。我们所学的内容里面，有两个极限存在的准则，对这种递推形式的极限，通常能用的是“单调有界数列必有极限”。所以我们要证两件事，一个是序列是单调的，另一个要证明序列是有界的。我们来看看完整的解答过程。

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

解：假定序列的极限是存在的，设此极限为\(A\)，那么：\[\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=A, \lim_{n\to\infty}x_{n}=A, \]

所以
\[A=A(2-A),\]

解此方程，可以得到 \(A^2=A\)，那么\(A=1\) 或者 \(0\)。具体是 0 还是 1，我们要看我们的其余的证明过程。

现在我们证明这个序列的极限是存在的。因为\(0<x_0<1\)，所以\(x_1=x_0(2-x_0)=2x_0-x_0^2\)，配方，我们可以得到\(x_1=1-(1-x_0)^2\)，所以 \(0<x_1<1\)。又因为 \(x_0<1\)，所以 \(2-x_0>1\)，所以 \(x_1=x_0(2-x_0)>x_0\)。我们用归纳法来证明，\(0<x_n<1\) 并且是单调增加的。根据极限存在准则II：单调有界数列必有极限。我们知道这个数列有极限。

现在假设\(0<x_n<1\)，那么，\(0<x_{n+1}=x_n(2-x_n)<1\)，跟上述证明一样，\(x_{n+1}>x_n\)，所以序列是单调增加的。

所以，\(\lim_{n\to\infty}x_n=1\)。（\(A=0\) 舍去，因为 \(x_n>0\)）