幂指函数，看起来就是这样的函数 \(f(x)^{g(x)}\)， 函数既像幂函数，又像指数函数，它的底和指数都是函数。它在高数里面出现的频率是比较高的，特别是求极限和求导数的时候。对于这样的函数，最常见的错误就是求导的时候，把它当成幂函数的复合函数，或者普通的指数函数的复合函数来求导。这类函数的极限也是这门课的一个难点，很多同学见到这类函数的极限往往不知所措。这篇文章就对这种函数的相关问题做一个详细的剖析。
幂指函数的定义域：同指数函数一样，幂指函数要求它的底是正数，否则，函数可能就没有意义。例如，当 \(x<0\) 时，函数 \(x^x\) 就没什么意义。所以对于幂指函数来说，\(f(x)>0\)，再加上 \(g(x)\) 和 \(f(x)\) 的定义域，幂指函数的定义域是这三个数集的交集。严格来说，如果设 \(f(x)\) 的定义域为 \(U_1\)，\(g(x)\) 的定义域为 \(U_2\)，\(V=\{x\in R : f(x)>0\}\) ，则幂指函数 \((f(x)^{g(x)}\) 的定义域是 \(U=U_1\cap U_2 \cap V\)
幂指函数的复合规则： 幂指函数是复合函数吗？答案是它是复合函数。 但它的复合规则不是由指数函数与幂函数的复合，也不是幂函数与指数函数的复合。那它是由什么样的函数，通过什么样的规则复合而成的呢？
我们先来对它进行变形， 先对它取对数，再取 \(e\) 底，那么 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)。这样，问题就简单多了，我们可以认为它是由指数函数 \(e^u\) 和函数 \(g(x)\ln f(x)\) 复合而成的函数。这就是幂指函数的复合规则。
有了它的复合规则以后，幂指函数的极限与导数就变得容易多了。
幂指函数的极限： 如果 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to a}g(x)=B\)，且 \(A,B\) 都是常数并且不同时为 \(0\)， 则 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=A^B \)。这个可以用复合函数的极限运算法则得到。 因为 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)} = e^{B\ln A}= A^B\)。
如果极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 是未定式极限，就是它是 \(0^0, 1^{\infty}\) 型或者 \(\infty^0\) 型中的一种。这时候的通常做法是将极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 化成 \(e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)}\) 的形式，接着将指数部分化成形式 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\)。这时候，指数部分的极限就成了两类基本的未定式极限 \(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型，然后用洛必达法则可以求出极限指数部分的极限了。
对于 \(1^{\infty}\) 型的极限，还可以通过将它变形，运用第二个重要极限来求得它的极限。
幂指函数的导数：在教材里，幂指函数的导数一般是用对数求导法来求，而对数求导法是通过隐函数求导法得到的。那么知道了幂指函数的复合规则后，我们完全可以使用我们所熟悉的复合函数求导法则来求它的导数。我们来看怎么做。
设 \(F(x)=f(x)^{g(x)}\)， 那么因为 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)， 所以可以设 \(u=g(x)\ln f(x)\)，从而 \(F(x)\) 是函数 \(G(u)=e^u\) 和函数 \(u=g(x)\ln f(x)\) 复合得到。从而由复合函数的求导公式
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = e^u \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]
将 \(u\) 回代，就得到了
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]
如果熟悉了，可以直接这么求
\begin{align*}
\left(f(x)^{g(x)}\right)’&=\left(e^{g(x)\ln f(x)}\right)’ \\
&= e^{g(x)\ln f(x)} (g(x)\ln f(x))’ \\
&= f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)
\end{align*}
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