怎么寻找函数的渐近线

这个问题，对于大多数同学来讲，不是什么大的困难。毕竟，它的定义还是比较好理解，而且有了极限的基础以后，计算也不是什么难题。但有时候，有同学对于怎么寻找斜渐近线会有一些困难，不会求斜渐近线的表达式。

我们还是简单回顾一下三类渐近线的定义：

如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\)，则称直线 \(x=x_0\) 是函数 \(f(X)\) 的垂直渐近线，或者铅直渐近线；
如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)=A\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A\)，则称直线 \(y=A\) 是函数 \(f(x)\) 的水平渐近线。注意这里要分两个无穷大方向；
如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)-ax-b=0\)，则称直线 \(y=ax+b\) 是函数 \(f(X)\) 的斜渐近线。注意这里也要分两个无穷大方向。

我们在画函数的图形的时候，需要确定函数的渐近线。那么现在我们来看一下怎么寻找函数的渐近线吧。

寻找渐近线的步骤是：先找垂直渐近线，再找水平渐近线，最后找斜渐近线。一个函数可能没有渐近线，也有可能三类渐近线都有。

垂直渐近线：垂直渐近线只可能在函数不连续的点处出现。这是为什么？因为从连续函数的性质知道，闭区间的连续函数有界，所以如果是连续的话，它的每一点的极限都是有限的（我们可以选一个很小的包含这点的连续区间）。
找到不连续的点后，再在这点求极限。如果左右极限有一个趋于无穷大，那么这点处就有垂直渐近线。
水平渐近线：确定垂直渐近线后，就开始寻找水平渐近线。分别令 \(x\) 趋近于正、负无穷大，如果极限存在（不包括无穷大，无穷大是极限不存在的一种），那么就有水平渐近线；
斜渐近线：如果一个方向有水平渐近线，就不会有斜渐近线。也就是说，一个方向有水平渐近线，就不用找斜渐近线了（为什么？）。如果没有水平渐近线，就来确定有没有斜渐近线。
找斜渐近线的方式为：先求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\)，如果极限存在，值为 \(a\)，则可确定有斜渐近线。接着，求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}-ax\)，如果极限为 \(b\)，则斜渐近线的方程为 \(y=ax+b\)

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