高等数学里, 求极限的技巧特别多, 这也正是因为极限的求法相对比较难, 所以发展出多种多样的求极限方法. 有很多方法只是针对特定类型的极限有效. 现在我们看看高等数学里都有哪些求极限的方法, 以及哪些类型的极限应用什么方法比较有效.
我们先来说一说求极限时的一般原则.
求极限的一般原则:
- 首先, 运用极限的运算法则(四则运算, 连续函数的极限, 复合函数的极限), 确定极限是不是未定式极限；
- 两种基本的未定式极限是 \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型和 \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) , 这两种情形一般可以用洛必达法则来求. 有一些特殊的情形, 我们接下来讲；
- 其它未定式极限(\(\displaystyle0\cdot\infty, \infty-\infty, 1^{\infty}, 0^0, \infty^0 \)),要先化成上面的两种基本情形来求，然后用洛必达法则或者其它方法来求。
各种类型的极限求法:
- 对未定式极限，\(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\)，最有效也是最基本的方法是洛必达法则。也就是在求极限的时候，先分子分母分别求导，再求极限。例如
\begin{align*}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}&=\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{3x^2}\\&=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{6x}\\&=\lim_{x\to0}\frac{-\cos x}{6}\\&=-\frac{1}{6}\end{align*} - \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型， \(x\to a\) ，且分子分母都是多项式，则分子分母可以约去无穷小因子 \(x-a\)。例如 \begin{align*}\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}&=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-5)}\\&=\lim_{x\to3}\frac{(x-2)}{(x-5)}\\&=-\frac{1}{2}.\end{align*}
- \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型， \(x\to a\) ，且分子或者分母有根式， 则先对根式有理化，然后用极限运算法则或者约去无穷小因子的方法来计算。例如
\[\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}\]
我们在分子分母都乘以 \(\sqrt{1+2x}+3\) ，则分子就有理化了，再在分子分母同乘以因式 \(\sqrt{x}+2\)，则分母就有理化了，从而原极限变成
\begin{align*}\lim_{x\to 4}&\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{1+2x}+3}{\sqrt{1+2x}+3}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}\\&=\lim_{x\to 4}\frac{2(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{4}{3}\end{align*} - \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型， \(x\to 0\) ，分子或分母有三角函数，则利用三角函数恒等式或其它变换，化成两个重要极限的第一个，利用那个极限来求。例如
\begin{align*}\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}&=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x/\cos x – \sin x}{\sin^3x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x\sin^3x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}\end{align*}
而 \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\)，所以上述极限为
\begin{align*}\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}&=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2}\frac{(2\frac{x}{2})^2}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}\\&=\frac{1}{2}\end{align*} - \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) 型，\(x\to\infty\) （或者 \(n\to\infty\)），且分子分母都是 \(x\) （或者 \(n\)）的多项式或者类似于多项式（根式里是多项式）时，分子分母同除以 \(x\) 的最高阶幂。例如
\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}&=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2},\\ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x-1}{x^3-7x}&=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{1-\frac{7}{x^2}}=0\end{align*} - \(\infty-\infty\) 型，如二者都是分式，则先通分，化成两种基本形式，再用洛必达法则或者其它方法求极限。例如
\begin{align*}\lim_{x\to0}\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}&=\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin x\tan x}\\&=\lim_{x\to0}\frac{\sin x(\frac{1}{\cos x}-1}{\sin x\tan x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\cos x\tan x}\\&=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\sin x}\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2}\cdot\frac{(\frac{x}{2})^2}{\sin x}=0\end{align*}
最后一步利用了公式 \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)。 - \(\infty-\infty\) 型，如果其中一个含有根式，则先有理化，再用其它方法求极限。例如
\begin{align*}\lim_{x\to\infty}(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)&=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{((x+a)(x+b)-x^2)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x} \\&= \frac{a+b}{2}\end{align*}
最后一步是由分子分母同除以 \(x\) 得到。 - \(\displaystyle1^{\infty}\) 型， 首先尝试能不能化成 \((1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}\) 的复合式，然后利用已知极限 \(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e\)，这里 \(\alpha\) 是一个无穷小量。例如
\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x&=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^x\\&=\lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{2a}}\right]^{x\cdot\frac{2a}{x-a}}\\&=e^{2a}\end{align*}这是因为方括号里面的部分的极限是 \(e\)，而方括号外面的指数的极限是 \(2a\)。 - \(\displaystyle 1^{\infty}\) 型，\(0^0\) 型， \(\infty^0\) 型，先取对数， 再取 \(e\) 底，化成基本的未定式极限 \(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\)，然后用洛必达法则或者其它方式求极限。例如
\[\lim_{x\to0}(x+e^x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0} e^{\frac{1}{x}\ln(x+e^x)}=e^{\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln(x+e^x)}=e^2\]
最后一步是对指数部分应用洛必达法则。 - \(0\cdot\infty\) 型，将其中一个乘式变成分母，从而化成两种基本形式的未定式；再利用其它方法求积分。例如
\[\lim_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}=1\] - 如果未定式极限里，函数比较复杂，不能用洛必达法则或者洛必达法则使用起来太麻烦的话，则考虑用泰勒展开来求极限。例如
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3},\qquad \lim_{x\to\infty}(x-x^2\ln(1+\frac{1}{x}))\]
前者将 \(e^x,\sin x\) 展开到三阶，后者将 \(\ln(1+\frac{1}{x})\) 展开到 \(1/x\) 的四阶。 - 如果可以通过一个明显的放缩，且放缩后两者的极限都相等的话，就使用夹挤原理来求极限。例如
\[\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)\]
显然有
\begin{align*}n\frac{n}{n^2+n\pi}&\leq n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)\\&\qquad\qquad\leq n\frac{n}{n^2+\pi}\end{align*}
不等号的左边和右边都有相同极限 \(1\)（只需要在分子分母除以 \(n^2\) 即可），所以由夹挤原理，原极限为 \(1\) 。 - 如果含有变上限积分，那么通常情况下是洛必达法则结合变上限积分的导数来求；
- 如果数列是用递推或者迭代形式给出， 即 \(x_{n+1}=f(x_n)\)， 那么肯定是用递推法来求极限，这时候，要注意，一定要先证明极限存在（单调有界数列），然后两边取极限，可得一个代数式，从而可以求得极限；
- 如果是数列的每一项是无限多个项相加，且每一项可以写成 \(\displaystyle\frac{1}{n}f(\frac{\xi}{n})\) 的话，那么这个极限可以用定积分的定义来求。这里，\(\frac{\xi}{n}\) 取值范围就是定积分的积分上下限，而 \(f(x)\) 就是被积函数。例如
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{\xi=1}^{n}\sqrt{1+\frac{\xi}{n}}\]
这里，\(f(\frac{\xi}{n})=\sqrt{1+\frac{\xi}{n}}\) ，所以被积函数是 \(\sqrt{1+x}\)，\(\frac{\xi}{n}\) 在和式里的取值范围是从 \(0\) 到 \(1\)。（\(0\) 这一项可以认为没写出来）。所以原极限等于定积分
\[\int_0^1\sqrt{1+x}dx\] - 分段函数在分段点处的极限一定要求左右极限，然后确定二者是否相等；
- 幂指函数 \(\displaystyle(f(x))^{g(x)}\)的极限，如果是未定式极限， 一定要先化成 \(\displaystyle e^{g(x)\ln(f(x))}\)形式，然后运用复合函数的极限法则，将极限符号移到指数上去，对指数部分用未定义极限的求法求极限。也就是说
\[\lim_{x\to a}(f(x))^{g(x)}=e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln(f(x))}\]
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