对于非齐次方程的解,我们有一般的理论. 即,如果 \(y_h\) 是齐次方程 \(y^{\prime\prime}+p y’+q y=0\) 的解, 而 \(y_p\) 是非齐次方程 \(y”+p y’+q y=f(x)\) 的一个特解,那么非齐次方程 \(y^{\prime\prime}+p y’+q y=f(x)\) 的通解为 \(y=y_h+y_p\)
情形1: \(f(x)=0\), 就是所谓的齐次微分方程. 我们先求解它的特征方程,就是先求解
\[r^2+pr+q=0\]
然后分三种情况:
- 如果 \(r_1\ne r_2\) 且都是实数,那么方程的通解为\[y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\]
- 如果 \(r_1= r_2\) 是重根, 那么方程的通解为 \[y=(C_1+C_2x)e^{rx}\]
- 如果 \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\) 是一对复根, 那么方程的通解为\[y=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))\]
情形2: \(f(x)=P_m(x)e^{ax}\). 其中 \(P_m(x)\)为 \(m\) 次多项式. 这种情形,我们也分三种情况来求特解:
- 如果 \(a\) 不是特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的根, 则可取方程的特解为\[y_p=Q_m(x)e^{ax}\]
其中\(Q_m(x)=a_m x^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0\) 为 \(m\) 次多项式.然后代入方程求出 \(Q_m(x)\). - 如果 \(a\) 是特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的单根, 则可取方程的特解为\[y_p=xQ_m(x)e^{ax}\]
- 如果 \(a\) 是特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的重根, 则可取方程的特解为\[y_p=x^2Q_m(x)e^{ax}\]
情形2: \(f(x)=P_m(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x)\) 或者 \(f(x)=P_m(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x)\). 其中 \(P_m(x)\)为 \(m\) 次多项式. 这种情形,我们分两种情况来求特解:
- 如果 \(\alpha+i\beta\) 不是特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的根, 则可取方程的特解为\[y_p=e^{\alpha x}(C_1Q_m(x)\sin(\beta x)+C_2R_m{x}\cos{\beta x})\] 其中 \(Q_m(x)\) 和 \(R_m(x)\) 都是\(m\) 次多项式.
- 如果 \(\alpha+i\beta\) 是特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的根, 则可取方程的特解为\[y_p=e^{\alpha x}(C_1Q_m(x)\sin(\beta x)+C_2R_m{x}\cos{\beta x}).\]
我们来看一个例子:
例 1: 求方程的通解
\[y^{\prime\prime}-y’-2y=2e^{-x}\]
解: 我们先求出齐次方程的通解. 齐次方程的特征方程为
\[r^2-r-2=0\]
它的两个解为 \(r_1=-1, r_2=2\), 所以齐次方程的通解为
\[y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}.\]
接下来,我们来找出非齐次方程的一个特解. 这里 \(a=-1, P_m(x)=2\). \(P_m(x)\) 是 \(0\) 次多项式, \(a=-1\) 是特征方程的单根,所以我们假设特解为\[y_p=Axe^{-x}\]
代入到方程中去
\[y^{\prime\prime}_p-y_p’-2y_p=2e^{-x}\]
我们可以得到
\[-3Ae^{-x}=2e^{-x}\]
从而 \(A=-\frac{2}{3}\), 所以 \(y_p=-\frac{2}{3}xe^{-x}\) , 所以方程的通解为
\[y=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}-\frac{2}{3}xe^{-x}\]
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