二阶常系数微分方程求解总结

对于非齐次方程的解,我们有一般的理论. 即,如果 $y_h$ 是齐次方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的解, 而 $y_p$ 是非齐次方程 $y”+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 的一个特解,那么非齐次方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 的通解为 $y=y_h+y_p$

情形1: $f(x)=0$, 就是所谓的齐次微分方程. 我们先求解它的特征方程,就是先求解
$$r^2+pr+q=0$$
然后分三种情况:

• 如果 $r_1\ne r_2$ 且都是实数,那么方程的通解为$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$$
• 如果 $r_1=r_2$ 是重根, 那么方程的通解为 $$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$$
• 如果 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$ 是一对复根, 那么方程的通解为$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x))$$

情形2: $f(x)=P_m(x)e^{ax}$. 其中 $P_m(x)$为 $m$ 次多项式. 这种情形,我们也分三种情况来求特解:

• 如果 $a$ 不是特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的根, 则可取方程的特解为$$y_p=Q_m(x)e^{ax}$$
  其中$Q_m(x)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 为 $m$ 次多项式.然后代入方程求出 $Q_m(x)$.
• 如果 $a$ 是特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的单根, 则可取方程的特解为$$y_p=x{Q}_m(x)e^{ax}$$
• 如果 $a$ 是特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的重根, 则可取方程的特解为$$y_p=x^2{Q}_m(x)e^{ax}$$

情形2: $f(x)=P_m(x)e^{\alpha x}\cos (\beta x)$ 或者 $f(x)=P_m(x)e^{\alpha x}\sin (\beta x)$. 其中 $P_m(x)$为 $m$ 次多项式. 这种情形,我们分两种情况来求特解:

• 如果 $\alpha +i\beta$ 不是特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的根, 则可取方程的特解为$$y_p=e^{\alpha x}(C_1{Q}_m(x)\sin (\beta x)+C_2{R}_{m}x\cos \beta x)$$ 其中 $Q_m(x)$ 和 $R_m(x)$ 都是$m$ 次多项式.
• 如果 $\alpha +i\beta$ 是特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的根, 则可取方程的特解为$$y_p=e^{\alpha x}(C_1{Q}_m(x)\sin (\beta x)+C_2{R}_{m}x\cos \beta x).$$

我们来看一个例子:

例 1: 求方程的通解
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=2e^{-x}$$
解: 我们先求出齐次方程的通解. 齐次方程的特征方程为
$$r^2-r-2=0$$
它的两个解为 $r_1=-1,r_2=2$, 所以齐次方程的通解为
$$y_h=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{2x}.$$

接下来,我们来找出非齐次方程的一个特解. 这里 $a=-1,P_m(x)=2$. $P_m(x)$ 是 $0$ 次多项式, $a=-1$ 是特征方程的单根,所以我们假设特解为$$y_p=Ax{e}^{-x}$$
代入到方程中去
$$y_p^{\prime \prime }-y_p^{\prime }-2y_p=2e^{-x}$$
我们可以得到
$$-3A{e}^{-x}=2e^{-x}$$
从而 $A=-\frac{2}{3}$, 所以 $y_p=-\frac{2}{3}x{e}^{-x}$ , 所以方程的通解为
$$y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{2x}-\frac{2}{3}x{e}^{-x}$$