二阶微分方程的常数变易法

我们都知道一阶线性微分方程的常数变易法，那是我们的高等数学里学到的一阶线性微分方程的公式的由来。其实，对于任何高阶线性微分方程，我们都可以用常数变易法来求得非齐次方程的通解。 这里我们仅讲述二阶方程的常数变易法，更高阶的方程可以用同样的方法求得方程的通解。

所谓常数变易法，就是在求得相应齐次方程的通解后，将齐次方程的通解里的任意常数用关于自变量的任意函数代替，然后代入到原非齐次方程里去，从而求得非齐次方程的特解的一种方法。由非齐次方程的解的定理，我们只需要将齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解，就得到了齐次方程的通解。我们在求一阶非齐次方程的通解的过程中，用的就是这一方法。现在我们将它推广到二阶去， 为叙述简便， 我们只考虑常系数方程的情形。

考虑二阶微分方程
\[y”+py’+qy=f(x)，\]
这里 \(p, q\) 都是常数， 其对应的齐次微分方程为
\[y”+py’+qy=0.\]

现在设我们已知齐次微分方程 \(y”+py’+qy=0\) 的通解为
\[y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x).\]
我们将其中的任意常数 \(c_1\) 和 \(c_2\) 用关于 \(x\) 的任意函数 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 代替，来找一个非齐次方程的特解，此特解具有形式
\[y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).\]
将此式对 \(x\) 求导，可以得到
\[y’_p(x)=(u’_1(x)y_1(x)+u’_2(x)y_2(x))+(u_1(x)y’_1(x)+u_2(x)y’_2(x)).\]
因为函数 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 是任意的，所以我们可以取函数 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 使得
\[u’_1(x)y_1(x)+u’_2(x)y_2(x)=0\]
从而使方程得到简化。再对 \(y’_p\) 求导并应用上述条件，我们得到了
\[y”_p(x)=u’_1(x)y’_1(x)+u’_2(x)y’_2(x)+u_1(x)y”_1(x)+u_2(x)y”_2(x)\]

代回到原方程 \(y”_p(x)+py’_p(x)+qy_p(x)=f(x)\)，我们得到了
\[\begin{align}
& u’_1(x)y’_1(x)+u’_2(x)y’_2(x)+u_1(x)y”_1(x)+u_2(x)y”_2(x) \\ &\quad +p((u_1(x)y’_1(x)+u_2(x)y’_2(x))+q(u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x))\\
&=f(x).\end{align}\]
因为 \(y_1,y_2\) 是齐次方程的解，所以
\[u_1(x)y”_1(x)+pu_1(x)y’_1(x)+qu_1(x)y_1(x)=0,\]及
\[u_2(x)y”_2(x)+pu_2(x)y’_2(x)+qu_2(x)y_2(x)=0.\]
所以 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 满足方程
\[u’_1(x)y’_1(x)+u’_2(x)y’_2(x)=f(x).\]
以及限制条件
\[u’_1(x)y_1(x)+u’_2(x)y_2(x)=0.\]

我们解联立方程
\[\begin{cases}
u’_1(x)y’_1(x)+u’_2(x)y’_2(x)=f(x),\\
u’_1(x)y_1(x)+u’_2(x)y_2(x)=0.
\end{cases}\]就可以求出方程的一个特解。

我们来看一个例子。

例：求方程
\[y”+4y=2\tan x\]
的通解。

解：齐次方程的特征方程为
\[r^2+4=0\]
特征根为 \(r_{1,2}=\pm 2i\) 。所以齐次方程的通解为 \(Y=c_1\sin 2x + c_2 \cos 2x\) 。现在我们用常数变易法来求方程的一个特解。

设 \(y_p=u_1(x)\sin 2x + u_2(x)\cos 2x\) 为方程的一个特解，\(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 满足条件
\[\begin{cases}
2u’_1(x)\cos 2x-u’_2(x)\sin 2x=2\tan x,\\
u’_1(x)\sin 2x+u’_2(x)\cos 2x=0.
\end{cases}\]

解此方程，用线性代数的方法，克莱姆法则。系数行列式为
\[D=\begin{vmatrix}
2\cos 2x&-2\sin2x\\
\sin2x&\cos2x
\end{vmatrix}=2.\]

\[D_1=\begin{vmatrix}
2\tan x&-2\sin2x\\
0&\cos2x
\end{vmatrix}=2\tan x\cos2x.\]

\[D_2=\begin{vmatrix}
2\cos 2x&2\tan x\\
\sin2x&0
\end{vmatrix}=-2\tan x\sin2x.\]

所以我们得到
\[\begin{cases}
u’_1(x)=\tan x\cos2x\\
u’_2(x)=-\tan x\sin2x
\end{cases}\]
积分可得
\[
\begin{cases}
u_1(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\ln(\sin^2x-1)+\sin^2x\\
u_2(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x-x
\end{cases}
\]

所以微分方程的通解为
\[
y=c_1\cos2x+c_2\sin2x+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\ln(\sin^2x-1)+\sin^2x\right)\cos2x+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x-x\right)\sin2x
\]