用初等变换法求\(n\)阶行列式

求行列式最简单有效、也是应用最广的方法是初等变换法。所谓初等变换，就是下列三种行列式的运算：

• 交换两行（列）
• 将某一行（列）乘上一个常数
• 将某一行（列）乘上一个常数加到另一行（列）去

通过这种运算，我们可以将行列式化成三角形，或者将某一行或者列化成只有一个非0 ，然后再按该行或列展开，从而达到降阶的目的。我们用几个例子来说明这种方法。

例：求行列式的值
\[|A|=\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
2&3&4&\cdots&n&1\\
3&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
n&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

这里我们看到，每一行或者每一列的元素都相同，只是排列顺序不同。这种情形，我们可以将所有的行或列加到同一行或列去，然后再提出一个因子，情形就会变得简单些了。该行（列）的元素就全部变成了1， 然后通过减法，就可以将该行或列化成只有一个非0. 我们来看它的解法。

解：将所有的列加到第一列去，然后提出因子\(\displaystyle\sum_{i=1}^n i=\frac{(n+1)n}{2}\), 行列式变成
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
1&3&4&\cdots&n&1\\
1&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
1&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

从最后一行开始，依次减去前一行，我们可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&1&1&\cdots&1-n&1\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&1-n&1&\cdots&1&1
\end{vmatrix}\]

全部减去第二行，行列式变成了
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&0&0&\cdots&-n&n\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&n
\end{vmatrix}\]

最后一列依次加上\(2,3,… ,n-1\) 列，得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n-\frac{n(n-1)}{2}\\
0&1&1&\cdots&1&-1\\
0&0&0&\cdots&-n&0\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&0
\end{vmatrix}\]

先按第一行展开，再按最后一列展开，可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}(-1)^{n+1}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&-n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&-n& &0\\
-n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

每一列乘以(-1), 则
\[|A|=
(-1)^{n+1}(-1)^{n-2}\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&n& &0\\
n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

现在只要利用行列式的定义, 就可以得到结果了. 这个行列式只有一项, 这一项就是 \(a_{1,n-2}a_{2,n-3}\cdots a_{n-2,1}=n^{n-2}\),它的逆序数为\(\sum_{i=1}^{n-3}i=\frac{(n-2)(n-3)}{2}\), 所以它的符号是\((-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}}\). 最后我们得到行列式的值是
\[|A|=\displaystyle (-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}+1}\frac{(n+1)n^{n-1}}{2}\]