正项级数的积分判别法

有些教材用到了积分判别法来判别 $p-$级数的收敛性， 但是没有特别地、详细地讲述这一判别法则。这篇文章就详细讲解这一判别方法。

我们先来叙述一下这个判别定理.

定理（积分判别法）： 设 $f(x)$ 在区间 $[1,\mathrm{\infty })$ 上为一连续、非负、单调递减函数，并且 $f(n)=a_n$, 那么级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 与积分 ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ 同敛散。 也就是说：

• 如果积分 ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ 收敛，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛
• 如果积分 ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ 发散，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 发散

我们不去证明这个定理，有兴趣的同学可以参考相关的教材。

注记：

1. 对于这个定理，$n$ 不一定要从 1 开始 。举例说，如果级数的第一项从 4 开始，那么我们的积分的下限就是 4 .
2. $f(x)$ 不一定需要在区间上一直单调，只需要它最终是单调的就行，也就是说，从某一项开始后，它是单调的。
3. 级数的值不等于积分的值，这一点需要注意。

这个定理的应用主要在于级数的一般项可以写成 $n$ 的某个函数的形式。如果级数的一般项可以写成 $n$ 的某个函数，那么应用这个判别法则是比较方便的。我们来看几个例子。

例 1：判别级数
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+1}$$
的敛散性。

解：我们看到，函数 $\frac{1}{x^2+1}$ 在区间 $[1,\mathrm{\infty })$ 上为一连续、非负、单调递减函数，所以我们可以用积分判别法。因为
$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x{|}_1^{\mathrm{\infty }}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}.$$
所以，积分是收敛的，从而由积分判别法，此级数收敛。

例 2：判别级数
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n}$$的敛散性。

解：函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 在区间 $(1,\mathrm{\infty })$ 上为一连续、非负函数，但是否单调， 我们一下子看不出来。那我们用导数的方法来判定其是否单调。
$$f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$
它在 $x>e$ 时是单调减少的。根据我们前面的注记，这个函数是最终单调减少的。所以我们可以用积分判别法。因而
$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x{|}_1^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }.$$
所以积分是发散的，从而，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n}}$ 是发散的。

例3：判别级数
$$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$$的敛散性。

解：函数 $\frac{1}{x\ln x}$ 在区间 $[1,\mathrm{\infty })$ 上为一连续、非负、单调递减函数，所以我们可以用积分判别法来判别。我们有
$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\ln x}={\ln }^2(\ln x){|}_2^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }.$$
所以级数发散。