用初等变换法求$n$阶行列式

求行列式最简单有效、也是应用最广的方法是初等变换法。所谓初等变换，就是下列三种行列式的运算：

• 交换两行（列）
• 将某一行（列）乘上一个常数
• 将某一行（列）乘上一个常数加到另一行（列）去

通过这种运算，我们可以将行列式化成三角形，或者将某一行或者列化成只有一个非0 ，然后再按该行或列展开，从而达到降阶的目的。我们用几个例子来说明这种方法。

例：求行列式的值
$$|A|=\left|\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& \cdots & n-1& n\\ 2& 3& 4& \cdots & n& 1\\ 3& 4& 5& \cdots & 1& 2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ n& 1& 2& \cdots & n-2& n-1\end{array}\right|$$

这里我们看到，每一行或者每一列的元素都相同，只是排列顺序不同。这种情形，我们可以将所有的行或列加到同一行或列去，然后再提出一个因子，情形就会变得简单些了。该行（列）的元素就全部变成了1， 然后通过减法，就可以将该行或列化成只有一个非0. 我们来看它的解法。

解：将所有的列加到第一列去，然后提出因子${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=\frac{(n+1)n}{2}}$, 行列式变成
$$|A|=\frac{(n+1)n}{2}\left|\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& \cdots & n-1& n\\ 1& 3& 4& \cdots & n& 1\\ 1& 4& 5& \cdots & 1& 2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& 2& \cdots & n-2& n-1\end{array}\right|$$

从最后一行开始，依次减去前一行，我们可以得到
$$|A|=\frac{(n+1)n}{2}\left|\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& \cdots & n-1& n\\ 0& 1& 1& \cdots & 1& 1-n\\ 0& 1& 1& \cdots & 1-n& 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 1-n& 1& \cdots & 1& 1\end{array}\right|$$

全部减去第二行，行列式变成了
$$|A|=\frac{(n+1)n}{2}\left|\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& \cdots & n-1& n\\ 0& 1& 1& \cdots & 1& 1-n\\ 0& 0& 0& \cdots & -n& n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& -n& 0& \cdots & 0& n\end{array}\right|$$

最后一列依次加上$2,3,\dots ,n-1$ 列，得到
$$|A|=\frac{(n+1)n}{2}\left|\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& \cdots & n-1& n-\frac{n(n-1)}{2}\\ 0& 1& 1& \cdots & 1& -1\\ 0& 0& 0& \cdots & -n& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& -n& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right|$$

先按第一行展开，再按最后一列展开，可以得到
$$|A|=\frac{(n+1)n}{2}(-1{)}^{n+1}\left|\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & -n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& -n& & 0\\ -n& 0& \cdots & 0\end{array}\right|$$

每一列乘以(-1), 则
$$|A|=(-1{)}^{n+1}(-1{)}^{n-2}\frac{(n+1)n}{2}\left|\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& n& & 0\\ n& 0& \cdots & 0\end{array}\right|$$

现在只要利用行列式的定义, 就可以得到结果了. 这个行列式只有一项, 这一项就是 $a_{1,n-2}{a}_{2,n-3}\cdots a_{n-2,1}=n^{n-2}$,它的逆序数为$\sum _{i=1}^{n-3}i=\frac{(n-2)(n-3)}{2}$, 所以它的符号是$(-1{)}^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}}$. 最后我们得到行列式的值是
$$|A|={\displaystyle (-1{)}^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}+1}\frac{(n+1)n^{n-1}}{2}}$$