如何求隐函数的二阶导数？

我们知道，求隐函数的二阶导数，方法就是将隐函数方程的两边同时对 \(x\) 求导，在求导的过程中，将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数，然后利用复合函数的求导法则，得到 \(\frac{dy}{dx}\) 的方程，解这个方程，就得到了 \(\frac{dy}{dx}\) 的表达式。

那么，问题是，对于隐函数的二阶导数，我们是不是还要这样求呢？其实不必了，因为我们求出来一阶导数，它有个具体的表达式，我们对这个表达式再对 \(x\) 求导就行了。如果这个表达里还有 \(y\)，那么就将它看成中间变量或者看成 \(x\) 的函数，它对 \(x\) 的导数是已知的（我们求一阶导数的时候就得到它了）。然后将它的表达式代入到二阶导数的表达里面就可以了。

我们来看一个例子。

例：设 \(xy+y^2=2\) ，求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解：我们先求一阶导数。对方程两边同时对 \(x\) 求导，我们得到

\[y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0\]

解出 \(\frac{dy}{dx}\)，我们得到

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+2y}.\]

再对 \(x\) 求导，我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{dy}{dx}(x+2y)-y(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}\]

将 \( \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+2y} \) 代入，并化简，我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{\frac{y}{x+2y}(x+2y)+y(1-2\frac{y}{x+2y})}{(x+2y)^2}=\frac{2y^2+2xy}{(x+2y)^3}\]