初学高等数学（或者微积分）的同学，都会觉得极限的严格定义非常难以理解。我们来试着解释一下，如何才能比较好的理解它。
我们先来回顾一下极限的严格定义：对任何的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 的时候， 不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。我们就说 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。
第一次看到这样的定义的时候，往往连句子都读不通顺，更别说里面的数学含义了。我们更习惯的是极限的直观定义：当 \(x\) 越来越接近于 \(a\) 时，\(f(x)\) 越来越接近数 \(A\)，我们就说当 \(x\) 趋近于 \(a\) 的时候 ，函数 \(f(x)\) 的极限是 \(A\).
举个例子，当 \(x\) 越来越接近于 \(2\) 时， \(x^2\) 越来越接近于 \(4\)，我们就说 \(4\) 是 \(x^2\) 当 \(x\) 趋近于 \(2\) 时的极限。
这样的句子我们比较能够接受，也容易理解。问题是，这样的表述在数学上是不严谨的。“越来越接近”是多接近？这在数学上是不能够被接受的。
稍微数学（严格）一点的说法是：当 \(x\) 充分接近 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 可以无限接近于 \(A\)，……。当然这样的句子我们还是能够理解，知道意思跟前面的直观定义也差不多。但还是不够。
事实上，极限的严格定义只是将我们的直观定义用数学语言描述了一遍，我们仍然可以是直观的定义去理解。
我们说 \(x\) 充分接近于 \(a\)，那么就是说 \(x\) 与 \(a\) 的距离足够近，而描述距离的数学方式，就是两个数之差的绝对值；足够近，就是两个数的距离足够小，而足够小就是它的值应该小于某个很小的数，这个数就是我们要找的 \(\delta\)。
那么如何用数学语言或者数学式子描写“无限接近”？我们刚才讲了“接近” 就是距离，那么无限接近是什么？就是距离可以无限小。那么如何描写无限小？我们知道距离是正数，如果距离无限小，就是距离无限接近于 \(0\)。距离无限接近于 \(0\)，而又因为 \(0\) 小于任何正数，所以距离无限小就是它可以小于任何正数。所以说对于任何正数 \(\epsilon\)， \(|f(x)-A|<\epsilon\)，那么 \(f(x)\) 就是无限接近于 \(A\) 了。
所以说，极限的严格定义，只是将我们以前的直观定义用严格的数学语言重新表述了一遍而已，我们大可以从前的直观定义来理解极限，而不用纠结于这个严格的定义。因为即使不理解这个定义，也不影响你后续内容的学习。
相关内容的视频可以在这里找到：极限的严格定义
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