如何理解极限的严格定义？

初学高等数学（或者微积分）的同学，都会觉得极限的严格定义非常难以理解。我们来试着解释一下，如何才能比较好的理解它。

我们先来回顾一下极限的严格定义：对任何的 $ϵ>0$，存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-a|<\delta$ 的时候， 不等式 $|f(x)-A|<ϵ$ 成立。我们就说 $A$ 是函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限。

第一次看到这样的定义的时候，往往连句子都读不通顺，更别说里面的数学含义了。我们更习惯的是极限的直观定义：当 $x$ 越来越接近于 $a$ 时，$f(x)$ 越来越接近数 $A$，我们就说当 $x$ 趋近于 $a$ 的时候 ，函数 $f(x)$ 的极限是 $A$.

举个例子，当 $x$ 越来越接近于 $2$ 时， $x^2$ 越来越接近于 $4$，我们就说 $4$ 是 $x^2$ 当 $x$ 趋近于 $2$ 时的极限。

这样的句子我们比较能够接受，也容易理解。问题是，这样的表述在数学上是不严谨的。“越来越接近”是多接近？这在数学上是不能够被接受的。

稍微数学（严格）一点的说法是：当 $x$ 充分接近 $a$ 时，函数 $f(x)$ 可以无限接近于 $A$，……。当然这样的句子我们还是能够理解，知道意思跟前面的直观定义也差不多。但还是不够。

事实上，极限的严格定义只是将我们的直观定义用数学语言描述了一遍，我们仍然可以是直观的定义去理解。

我们说 $x$ 充分接近于 $a$，那么就是说 $x$ 与 $a$ 的距离足够近，而描述距离的数学方式，就是两个数之差的绝对值；足够近，就是两个数的距离足够小，而足够小就是它的值应该小于某个很小的数，这个数就是我们要找的 $\delta$。

那么如何用数学语言或者数学式子描写“无限接近”？我们刚才讲了“接近” 就是距离，那么无限接近是什么？就是距离可以无限小。那么如何描写无限小？我们知道距离是正数，如果距离无限小，就是距离无限接近于 $0$。距离无限接近于 $0$，而又因为 $0$ 小于任何正数，所以距离无限小就是它可以小于任何正数。所以说对于任何正数 $ϵ$， $|f(x)-A|<ϵ$，那么 $f(x)$ 就是无限接近于 $A$ 了。

所以说，极限的严格定义，只是将我们以前的直观定义用严格的数学语言重新表述了一遍而已，我们大可以从前的直观定义来理解极限，而不用纠结于这个严格的定义。因为即使不理解这个定义，也不影响你后续内容的学习。

相关内容的视频可以在这里找到：极限的严格定义