- 线性代数的基本计算技巧是初等（行）变换。线性代数里需要用到初等变换的地方太多了，基本上贯穿了整个课程。例如解线性方程组，求逆矩阵，求特征向量，判定向量组的线性相关性等等。 初等变换的基本技术有两点：其一、按列进行，先将第一列除第一个数字外，全部化成零。然后第二列，第三列等等进行。其二，每次找个最简单的数字所在的行做为基本行，进行变换。当然最简单的数学莫过于 \(1\) 了。
这里有详细的视频教程讲解如何进行有效的初等变换：矩阵初等变换的方法与技巧
- 线性代数的基本理论是线性方程组的理论。它是其它理论的基础。例如可以用它来判定向量组的线性相关性，可以用来求特征向量，可以用来判定矩阵是否可逆，可以确定一个向量是不是其它向量的线性组合等等。 线性方程组的基本理论有两个方面，解的结构和求解方法。求解方法就是高斯消元法，也就是初等变换的方法。 而解的结构，又有两个方面。齐次方程 \(A{\vec x}=0\) 和非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\)。
- 齐次方程：
- 方程组有非零解的充分必要条件是 \(\text {Rank} (A) < n\) 。其中 \(\text {Rank} (A)\) 可以简单地认为是行变换后，阶梯形（REF）矩阵中非零行的行数。\(n\) 是方程中未知元的个数。
- 齐次方程组只有零解的条件是 \(\text {Rank} (A) = n\)
- 非齐次方程：
- 方程组无解的条件是 \(\text {Rank} (A) < \text {Rank} (A,{\vec b})\)
- 方程组有唯一解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) = n\)
- 方程组有无穷多个解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) < n\)
- 方程组的通解为 \({\vec x}={\vec x_h}+{\vec \eta}\)，其中 \(\vec x_h\) 是 \(A{\vec x}=0\) 的通解，\(\vec \eta\) 是非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\) 的一个（特）解。
- 这里我们总结了线性方程组的求法：解线性方程组
- 齐次方程：
- 第二个计算技巧是行列式的计算。在计算特征值的时候，一定会用到行列式的计算。另外，还可以用行列来判定矩阵是否可逆，向量组是否相关，还可以判定方程组有解、无解或者有无穷多个解等等。
- 线性方程组应用比较多的方面是特征值与特征向量，这个一定要会。在矩阵的对角化，解常微分方程组，随机过程等等方面都有应用。这部分的内容的计算，都是应用行列式和方程组的计算。
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